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1950年，美国数学学会要求当时最有影响的数学家之一外尔（Hermann Weyl，1885—1955）总结一下过去50年数学的进展，他写道，要不是因为“巴黎问题”所用术语太过专业，则只需直接将已经解决和部分解决的希尔伯特问题开列下来就已经可以完成任务了，“（希尔伯特问题）就是数学家们经常用来衡量自己进展的进度表”。
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希尔伯特第二问题
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希尔伯特第二问题是关于“公理系统相容性的问题”（即判定一个公理系统内的所有命题是彼此相容无矛盾的），希尔伯特希望能以严格的方式来证明任意公理系统内命题的相容性。公理系统的一个简单例子，是我们大家上中学时都学过的欧氏几何学，欧几里得列出了十条公理，所有别的几何定理都可以从这些公理出发推导出来。
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解决希尔伯特第二问题的，是被誉为继亚里士多德之后最伟大的逻辑学家的哥德尔（Kurt Godel，1906—1978）。除了希尔伯特第二问题，哥德尔对希尔伯特第一问题的解决也起了关键性的作用，若不是他的兴趣突然莫名其妙地转移了，第一问题很可能也会成为他的囊中物。
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哥德尔出生在摩拉维亚省的布尔诺（当时属奥匈帝国，现属捷克）。他天资聪颖，只用了四年时间就完成了一般需要八年的初等教育。1918年上高中后，几乎门门功课都得最高分，而唯一没拿到最高分的课竟是数学！在进入维也纳大学之初，他是准备搞物理的。后来他的导师、数学家哈恩（HansHahn，1879—1934）介绍他加入了当时非常有名的Vienna Circle（一个以探讨数学和物理学的哲学基础为目标的、由科学家和哲学家组成的小团体），使他的兴趣一下子从物理学转向了逻辑学。
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1930年2月，哥德尔获得博士学位，他的博士论文是证明数理逻辑中最基本的形式系统—谓词演算（又称一阶逻辑）的完备性和相容性。这一年稍后，他证明了他的最著名的两个关于公理系统的不完备性定理（发表于1931年3月）。哥德尔的论证与古希腊哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前6世纪）的克里特悖论（身为克里特人的埃庇米尼得斯宣称“所有的克里特人都是骗子”）有点类似。其大意是说，对于任何一个公理系统，必定存在一个用形式语言表述的语句（Statement）无法用形式语言的推理来证实或证伪，即这个语句是不确定的，因而只能靠增加一个新的公理来对付它。换句话说，为了堵住公理系统的一个漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又导致新漏洞的出现—鱼总是比网大！正是这个不完备性定理从完全出乎意料的、相反的方向解决了希尔伯特第二问题。比较准确的说法可能应该是：不完备性定理证明了公理系统相容性的不可证明（也就是说，希尔伯特想要的，是根本不可能被证明的）。这个消息刚刚传到希尔伯特那里时，他的最初反应是难以置信，甚至还有些愤怒。后来在他的助手伯内斯（Paul Bernays）的说服之下，他仔细研究了哥德尔的证明，很快意识到其正确性和重要性。当时希尔伯特正在哥廷根大学讲授一门关于公理系统的课，看了哥德尔的论文后，他马上把剩余课程全部取消了。
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哥德尔
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哥德尔是数学界公认的天才，也是众所周知的大怪物。他生性怕羞，据说他第一次讲课时整整一节课全都是面对黑板，没朝学生看一眼。有人认为这也许与他那时就已经患了某种程度的抑郁症或狂想症有关。早在学生时代，医生就怀疑哥德尔可能患有抑郁症或精神病，而他的一大乐趣就是与他的一个朋友共同策划如何误导医生，以使其无法判断他到底有什么病。也许正是这种讳疾忌医的态度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想症最终发展到拒绝进食（因为怀疑食物里有毒），以致由于器官功能衰竭而死。
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哥德尔还有过被误认为是德国间谍的经历。1942年夏天，他到缅因州的滨海小镇蓝山（Blue Hill）度假。那时他正致力于选择公理的独立性的研究，为了不受干扰，他总在晚上去海滩边散步边思考。散步就散步，却还要自言自语，而且还用德文。那时第二次世界大战正打得如火如荼，德国潜艇曾经在美国大西洋沿岸出没过，哥德尔的长相恐怕也有点容易令人起疑。所有这些因素加在一起，让当地的居民很难不疑心他是前来接应德国潜艇的间谍。当局不时接到举报电话，好在他们并不糊涂，从未把哥德尔弄到警察局去。
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作为逻辑学家，哥德尔一生认死理、爱钻牛角尖，凡事都以逻辑推理为准。有时候让人觉得他好像是个不食人间烟火的异类。他为数不多的朋友之一，对策论的奠基人、经济学家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902—1977）讲过一个很有趣的故事，颇能反映哥德尔的这一特点。1948年4月，哥德尔准备加入美国国籍。入籍前必须通过一个例行的简单考试。他花了极大的精力认真进行准备，尤其深入地钻研了美国宪法。考试前不久，哥德尔十分兴奋地跑来对摩根斯坦说“我发现了一个使美国能在逻辑上合法转化为独裁政权的可能性”。摩根斯坦当然知道不管哥德尔的论证多么精辟，这项发现对入籍考试来说都是灾难性的。所以他特别叮嘱哥德尔在考试时一定不要提这项新发现。考试那天，爱因斯坦和摩根斯坦两人作为证人陪同哥德尔来到移民局。入籍考试通常只允许申请人一人进入移民官的办公室。可能是出于对爱因斯坦的尊重，移民官把他们三个人一起请了进去。移民官开场说道，“到目前为止，你持有德国国籍……”哥德尔马上纠正说是奥地利国籍。移民官接着说：“不管怎样，它是在邪恶的独裁统治之下……幸运的是，这在美国是不可能发生的……”这下可捅了马蜂窝，哥德尔立刻高声打断道：“正相反，我知道这是可能发生的！”摩根斯坦和爱因斯坦二人费了九牛二虎之力才总算阻止住他继续深入阐述他的重要发现，让考试回归正轨。
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爱因斯坦与哥德尔的交情匪浅，两人经常一起从普林斯顿高等研究所散步回家。一路上他们会讨论涵盖范围极广的各种各样的问题。哥德尔是为数不多的愿意挑战爱因斯坦想法的人，比如他曾直言对统一场论抱持怀疑态度。在晚年时，爱因斯坦有一次跟摩根斯坦说，他自己的工作对其本身已经没有多大意义，他之所以仍然每天去研究所，仅仅是为了“能获得与哥德尔一起散步回家的特权”。哥德尔也把爱因斯坦视为知己。1949年，为了庆祝爱因斯坦的七十大寿，《在世哲学家文库》准备出一本专辑《阿尔伯特·爱因斯坦：哲学家—科学家》。主编希欧普（P. A. Schilpp）邀请哥德尔也贡献一篇文章。哥德尔突发奇想，决定要为专辑写一篇关于广义相对论的论文。于是重操物理旧业，开始认真研究广义相对论。让人不得不服气的是，他还真发现了爱因斯坦场方程的一个不为人知的新解—这个解对应于一个“没有时间的世界”（有兴趣的读者可以去看Palle Yourgrau的A World Without Time）。
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希尔伯特第八问题
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希尔伯特第八问题是黎曼假说和其他质数问题（质数就是只能被它自己和1整除的自然数，例如：2，3，5，7）。黎曼假说（即关于ζ函数零点的分布的猜想）：ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。“其他质数问题”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数，都可表示成两个质数之和（数学圈里称其为1＋1，就是说可表示成一个质数加另一个质数）。
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哥德巴赫猜想看上去真是很简单，对任何一个比较小的偶数，似乎都不难把它写成两个质数之和。比如偶数8可表示成3＋5，3和5是质数；又如偶数12可表示成5＋7，5和7是质数，等等。可要证明对任何一个大于2的偶数都能成立，却比登天还难。对哥德巴赫猜想以及和它连在一起的一个名字—陈景润（1933—1996），很多人可能并不陌生。在文化大革命刚刚结束的1978年，陈景润可谓是家喻户晓的超级明星，这在很大程度上是拜名作家徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》（《人民文学》1978年1月号）所赐。文章发表后，一时间洛阳纸贵，各大报刊争相转载。陈景润成为科学与献身的代名词，至于他究竟在哥德巴赫猜想上证明的是什么反而成了次要问题。其实陈景润的这项工作在1966年5月就已经完成了，只是由于“文革”正好在那年开始，没办法拿出来发表。他所证明的是（陈氏定理）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积（即他证明了任何大偶数都可写成一个质数加不超过两个质数的乘积，所以称为1＋2）。陈氏定理看上去离证明哥德巴赫猜想只有一步之遥，可这最后一道坎时至今日也没人能跨过去。
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有人将哥德巴赫猜想比作数学皇冠上的一颗明珠，但与黎曼假说相比，它的重要性终究还是略逊一筹。这主要是因为ζ函数与质数的分布紧密相关，而质数的分布不但在数论的研究中至关重要，在实际应用上也意义重大。特别是在密码的加密与解密方面，比如公开金钥加密的RSA算法就是以大质数为基础的。
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黎曼（G. F. B. Riemann，1826—1866）在数学史上占有极重要的地位，是黎曼几何学创始人及复变函数论创始人之一，对数学分析、微分几何和微分方程都有重要贡献。黎曼自上小学开始就被视为数学天才，校长专门派了一位老师教他数学。但是很快老师就发现，他从黎曼那儿学到的东西比他能教给黎曼的要多得多！在中学里，校长干脆让黎曼到他的私人图书室（那里有很多高深的数学专著）去自己找书看。有一次黎曼要求校长给他推荐一本难一点的书，为了试试黎曼的潜力，校长建议他去读勒让德（A. Legendre）859页的巨著《数论》。一星期后，黎曼把书还了回来，校长问他书是否太难，他回答说，非常高兴校长给了一本能让他读了一星期之久的书。两年后，黎曼请求学校以勒让德的《数论》作为他毕业考试的一部分。尽管两年来他从未再摸过这本书，对所有的问题却全能对答如流。毫无疑问，《数论》对黎曼具有很大影响，使他对研究质数的分布产生了浓厚的兴趣。
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黎曼
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提出黎曼假说的论文发表于1859年。为了阐述和解释这篇仅仅八页长的论文，爱德华兹（H. M. Edwards）写了一部300页的专著《黎曼的ζ函数》（1974）。ζ函数本身其实并不复杂，学过初等数学的人大概都能看懂：
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黎曼断言ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2。到目前为止，所有已知的15亿个非平凡零点（绝大部分是用计算机得到的）全部与黎曼的猜想相吻合。
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在希尔伯特眼里，黎曼假说应该算是这23个问题中的重中之重。巴黎会议之后不久，有人问过他在这些问题中哪一个最重要，他以不容置疑的口气答道“黎曼假说”。多年以后，在希尔伯特晚年，又曾经有人问他，假如死后500年又复活了的话，问的第一个问题会是什么？他毫不犹豫地答道：“是否有人证明了黎曼假说？”
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