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管理者总是在不停地探寻最有效的公司组织结构。我们也可以问出这样的问题：什么样的网络更适合优秀理念的扩展？同理，围绕着星状或漏斗状结构、具有选择能力的放大型网络，能够提升来自任何个体的优秀思想传播，并确保这些思想能有效传达到整个组织。
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网络结构对合作的影响
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在我们审视自己的工作和生活时，会很快发现，几乎我们全部的行为和欲望，都与其他人的存在紧密相关 。
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爱因斯坦，《我的世界观》
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到目前为止，我们已经了解了在个体拥有恒定适应度时，网络（图）所表现出来的效用。下一步，我们需要研究网络如何影响进化博弈的结果。其基本思想与空间博弈存在相似之处：个体与其邻居在网络中形成互动，并累计收益。收益越大，个体繁殖后代的机会或他人对其策略加以模仿的机会就越大。听起来十分简单，但“图中博弈”的计算工作却是难上加难。
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我邀请了当时哈佛团队中的博士后大槻久参与了这个项目。我与大槻久的合作总是遵循同样的模式。这种模式既有效，又令人心安。第一天，我会与他共同讨论一个问题。第二天，他会回来说：“马丁，我有了初步结论。”有时，这些初步结论长达几页纸，上面满是工整的手写计算过程。虽然这些计算是铅笔在纸上完成的，但非常整洁，没有任何修正和圈点。
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每次想到电影《莫扎特传》（Amadeus）中的场景，我总会这样问他：“这是原创吗？”他总是答道：“是原创。”之后我会问道：“你肯定这些结论的准确性吗？”而他也总是给我同样谦逊的答案：“不，不，只是初步结论。”第三天，他会回来告诉我：“马丁，我有了最终结论。”这句话的意思是说，他已经对结果进行了验算，没有发现错误。
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但是，在思考图中博弈的过程中，大槻久博士（我总是这样称呼这位天才朋友）第二天却没有回来找我。他终于遇到了一个真正的挑战。当时，他为了一个无法立即解决的难题而埋头钻研。他需要用上许多不同的数学技巧，才能应对图中博弈的问题。总体估计，他需要用上几周的时间才能彻底解决。从大槻久博士极高的水平和标准来看，这样的难度是前所未有的。
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与此同时，克里斯托夫·哈尔特采取更为直截了当的方法，利用计算速度超快的计算机模拟各种图中情形，解决了这一问题，并揭示出了十分有趣的现象。克里斯托夫和我专心致志地聆听着他这位二进制“朋友”述说的数字语言，我们利用计算机对各种结构的合作进化进行制图。其中包括环状结构，规律晶格结构，伟大的埃尔德什提出的随机图结构，随机规律图结构，以及无尺度网络结构。
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我们以环状结构为例。图中的每一位个体都有两位邻居。而对于规律晶格结构来说，就要将其想象为棋盘，回到我们第3章介绍的内容上。当创建埃尔德什最初提出的随机图时，就要有一定数量的个体，并以给定的固定概率在个体之间进行一对一的连接。另一方面，随机规律图结构也是随机生成的结构，但其中要确保每一位个体都拥有同等数量的邻居（这里有些人工雕琢的痕迹，但可以简化计算过程）。最后，还有我之前介绍过的无尺度网络，其中有几位关联度很高的个体，而许多其他个体则只有一个或两个连接。
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在结构型群体中进行进化博弈时，需要将更新规则具体化。更新规则就是决定个体如何改变策略的规则。不同的更新规则可以生成迥异的进化结果。我们的实验中利用了以下规则：随机选择一位个体，让它向邻居“学习”。于是，它看向所有的邻居，试着模仿其中一种策略，选择策略的可能性与回报成比例。换句话说，如果它的一位邻居拥有比其他邻居更高的回报，那么它模仿这位邻居策略的可能性就会更大。
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在推行这一更新规则的数学王国之中，我们能够分别研究合作者与背叛者的进化过程。合作者为了让每一位邻居收到利益b，就要付出成本c。而背叛者不散播利益，也不付出成本。在许多轮的进化之中，我们研究了合作者与背叛者在群体中的充裕量。
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我们将收益成本比b／c进行调整后发现，这个比值越高，合作者就会越来越充裕。存在一个关键的收益成本比，在这一点上，合作者与背叛者的充裕量相等。如果这一比例低于关键值，那么背叛者就占得上风。如果比例比关键值更高，那么合作者就赢得了胜利。
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合作与网络结构之间存在着简单的关联。总体来看，如果每位个体的邻居数量少一些，就会对合作者更加有利。平均邻居数量被称为“图的度数”（degree of the graph）k。举例来说，环形图的度数为2，因为每位个体都有两位邻居。计算机模拟过程显示，下面这条简单的规则支配了所有类型的网络：如果收益成本比大于度数，那么合作者就比背叛者更加充裕。如此优雅而简洁的原则的存在，令我们既震惊又激动。
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我们与大槻久讨论，是否可以在这一基于数值模拟的推论基础上，生成数学验证。从他的标准来看，这一工作花费了大量的时间。但他终于还是取得了成功。他验证了这一推论的有效性，确信这一推论的真实性。我为此感到十分惊喜。当b/c > k时，合作者数量将超过背叛者。如此简单的规则竟然真实有效，令我们无比兴奋。而同样让人想不通的是，在此之前，这样的规则竟从未被人发现。
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本章开始时曾经讲到，在均匀混杂的群体中，只要合作者与背叛者相遇，那么背叛者总是会击败合作者。但在图中，当合作者聚集在一起，形成小团体时，就能保护合作的发展延续。从大槻久的规则中我们可以看出，如果每一位个体都仅与几位邻居相连，那么就比较容易形成合作的小团体。邻居数量k越小，就意味着使合作发展延续下去所需要的收益成本比越低。
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更新规则十分重要，因为其中规定了玩家之间如何向对方学习。存在许多貌似合理的更新规则，而任何给定的群体结构，只能支持某种更新规则之下的合作进化，却不适合其他类型的更新规则。如果更新规则属于外向型，那么只要问出以下的问题，合作就会产生：我的哪位朋友状态不错？他是合作者还是背叛者？如果是前者，那么合作就应运而生。但是，如果更新规则属于内向型，有着下面的思考过程，那么合作就无法得到繁荣发展：我将自己与一位朋友进行对比，如果我做得更好，那么我就继续坚持自己的策略；如果我的朋友做得更好，那么我就采纳他的策略。
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产生差异的原因，与本章之初提到的例子存在相似之处。假设我们采用的是外向的更新策略。我想要向那些时髦的朋友学习，无论是学习他们的穿着打扮，还是学习他们欣赏的音乐类型。我留心他们的喜好，然后购买同样的衣服，下载同样的乐曲，这就引发了合作。现在，我们再采用一种目光短浅、以自我为中心的更新规则。我至今取得成功的原因是什么？就是因为选择了这些衣服和乐曲。所以我决定，无论如何都要继续这样的策略。这样的更新规则无可避免地会对网络中的合作造成损害。
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广义来看，这一研究工作激发出了一种有趣的思想：社会网络中的某些结构能比其他结构更有效地促进合作行为的产生，特别是在玩家之间关联度较低时。我们可以很容易在现实生活中看到种种案例。图中博弈的研究工作共有4人参加。此时，我们的工作动机形成了紧密的彼此关联。而如果有40人参加，那么这40人的整体工作安排与成果就会更加难于管理，每个人也会缺乏自发性和主动性。商业组织可以利用这类分析思想，规划出完美团队的理想规模，并同时参考前人的研究成果，譬如针对新人与老手数量平衡关系的研究等。这样，我们就能设计出公司机构中最优化、最适应合作发展的结构。
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日常生活中充满了各种图中博弈的案例。就算我们交际面很广，也只能有少数几位亲密的朋友。这些亲密的朋友，才是我们非常信任、愿意与他们进行合作互动的人（比如共同入住度假别墅、共同撰写一本著作等）。这样一个由亲密友人构成的网络，即使是缺乏直接和间接互惠等有条件策略，也可以继续促进合作的发展。但是，当互惠的效用与亲密友人网络结构叠加在一起时，就会产生协同作用，远远超越智慧玩家在均匀混合群体中所能取得的最佳成绩。
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如果b/c > k，那么合作者数量就会超过背叛者数量。这条规则同样显示出，你的朋友越少，你的命运就紧密地与他们相连。我们只听说过三剑客，没有三十剑客的说法。有著名的“狼牙山五壮士”，却不存在五十壮士的故事。在神秘的数学世界中，我们解释了“友谊”这一人性化而温暖的主题。同样，数学也能用来精确地讲述我们所有人都切身体会过的人与人之间的合作。世事艰难，而最有可能为你伸出援手的，不外乎那些你最最亲近的人。
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[1]具体观点请参见由巴拉巴西所著作品《爆发：大数据时代预见未来的新思维》，由湛庐文化策划，中国人民大学出版社出版；以及《链接：商业、科学与生活的新思维》，由湛庐文化策划，浙江人民出版社出版。——编者注
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[2] 尼古拉斯·克里斯塔基斯与詹姆斯·富勒的著作《大连接》已由湛庐文化策划，中国人民大学出版社出版。书中对他们的观点进行了更为详细的介绍。——编者注
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