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图11–2与图11–1的样子大不相同，在收费最低的组一边，有很突出的尖峰。大部分院校的学费低于8000美元，但是该图的右边有一条长尾巴，一直延伸到近40000美元。我们把一端有一条长尾巴的分布称为偏斜的（skewed）。这个分布的中心大概是8000美元（有一半院校的学费低于此值）。该分布的幅度很大，从1974美元到超过38000美元。该分布没有异常值，学费最高的几所院校只是长尾巴的延伸，仍是整体形态的一部分。
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图11–2 2009~2010学年伊利诺伊州116所大专院校学费的直方图
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在描述一个分布的时候，要把注意力放在重点上。要寻找主要的尖峰，而不是直方图中的小起伏，比如图11–2里面的那些。要辨识出明显的异常值，而不是直接把最小和最大的观察值当作异常值。要看是否有对称性，或明显的偏斜。
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对称分布与偏斜分布
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若直方图的左半边和右半边大致可看成互为镜中影像，则称该分布是对称的。若直方图的右边（包含较大观察值的那一半）延伸得比左边远，则称该分布是右偏的（skewed to the right）。若直方图的左边延伸得比右边远，则称该分布是左偏的（skewed to thd left）。
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在数学领域，对称的定义是：一幅图（比如直方图）的左右两半确实互为镜中影像。数据几乎不会是完全对称的，因此我们把像图11–1那样的直方图视为大致对称的整体形态，而图11–2则是明显右偏的。
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例4 样本统计量的分布
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从同一总体中抽取多个随机样本所得到的统计量的值，会形成有规律的分布形态。图11–3的直方图展示了我们在第3章见过的分布。抽取2527名成年人组成的简单随机样本，问其中每个人是否支持关于婚姻的宪法修正案。支持者的比例就是样本统计量。抽样1000次，我们就可以从这1000个随机样本中得到1000个样本统计量。图11–3呈现的是1000个样本统计量的分布，其总体的真实值是50%。
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这个分布相对于中间的单个尖峰是对称的。中心是0.50，表示样本统计量是无偏的。1000个值从小到大的幅度是从0.463到0.533。
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图11–3 从同一总体中抽取1000个简单随机样本所得样本统计量的直方图
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例5 莎士比亚戏剧
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图11–4显示了莎士比亚戏剧所用单词的长度的分布。这个分布有一个尖峰，而且大致是右偏的。剧中用了很多简短的单词（3~4个字母）和少数很长的单词（10~12个字母），所以右边延伸得要比左边远。该分布的中心是4，也就是说，莎士比亚戏剧中大约一半是有4个或者更少字母的单词。该分布的幅度是从1个字母到12个字母。
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请注意，图11–4的纵轴并不是单词的计数，而是莎士比亚戏剧中各种长度的单词所占百分比。当计数很大或我们想比较几个分布时，用百分比直方图更方便。不同的戏剧会有不同的词长分布，之所以右偏，是因为短单词比较多，长单词比较少。
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图11–4 莎士比亚戏剧中各种长度的单词所占百分比的直方图
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资料来源：《风格和词汇：数值研究》，C·B·威廉姆斯，1970年
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分布的整体形态，提供了关于变量的重要信息。有些类型的数据，总会呈现对称分布，有些又总是呈现偏斜分布。例如，同一种生物的大小（比如蟋蟀的长度），就常常呈现出对称分布。而收入数据（不管是个人的、公司的还是国家的），其分布的整体形态通常是右偏的。普通收入的很多，高收入的有一些，超高收入的是极少数。不过要记得，也有很多分布的形状既不对称又不偏斜。有些数据会呈现出其他形态，比如考试分数，有可能很多学生都考得很好，使图形在靠近满分的地方有尖峰；也可能有很难的题目，使得会做和不会做的学生被区分出来，从而图形有两个尖峰。用眼睛观察图形之后，再描述你看到了什么。
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练习
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11.285岁及以上居民。图11–5是2008年7月，美国50个州中85岁及以上居民所占百分比的直方图。说明该分布的形状、中心和幅度，以及其中有异常值吗？
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