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实践中，你可以将数据键入计算器，然后按平均数键和标准差键。或者，你可以把数据键入一个电子数据表或其他软件，计算出和s。出于某些技术上的原因，在计算平均数时，要除以n–1而不是n。一些计算器有两个标准差按键，你可以选择除以n还是n–1，要确保你选的是除以n–1的那个按键。
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练习
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12.3 汉克·艾伦。以下是汉克·艾伦在其23年的职业生涯里的全垒打数据。
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计算平均数和标准差，这两个数看上去如何？
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比这些计算细节更重要的，是了解为什么标准差可以度量分布幅度的性质。
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标准差s的性质
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• s度量的是以为中心的分布的幅度。只在你用来描述分布的中心时，才可以用s来描述幅度。
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• 只在没有幅度的时候，s才会等于零。这种情况发生在所有观察值都相同的时候。所以，标准差为零代表观察值完全没有分散（全都在同一点上），否则s必然大于零。当观察值离平均数越远时，s就越大。
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例5 投资基础知识
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关于收入的例子已经够多了，现在举一个你赚钱之后如何投资的例子。投资的首要法则是高风险、高回报，至少从长期来看一般如此。金融界人士将风险定义为投资回报的可变性（可变性大意味着风险高），并用投资回报的不可预测程度作为风险的度量工具。钱存在受政府保护的银行账户，有固定的利息，没有风险，因为其回报是完全确定的。新上市的股票可能一周价格猛涨，一周又快速下跌，其有高风险，因为你无法预测卖出时它会值多少钱。
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投资者应该用统计学思考问题，用年投资回报的分布来评估一项投资。这就意味着你需要了解回报分布的中心值和幅度。只有幼稚的投资者才会只关心高回报，却不管风险有多大，也就是回报的分布或变化大不大。金融专家用平均数和标准差描述投资回报的情况，他们一直认为标准差对于公众来说过于复杂，但是你会注意到，在共同基金的投资报告中，会定期出现标准差。
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以下是三项投资在20世纪的后50年（1950~1999年）的年度平均回报率和标准差，这是一段经济快速增长的时期。
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你可以看到，当平均回报上升时，风险（可变性）也上升了，这种情况符合投资理论。短期国债和长期国债都是美国政府的借债工具，短期国债会在一年后偿还，而长期国债是30年期贷款。它们的风险较高，是因为如果利率上升，债券价值就会下降。股票的风险更大，但回报也更高（长期平均而言），要冒价格大起大落的风险。如图12–7所示，在我们的数据所覆盖的这50年里，某一年股价上涨幅度高达50%，还有一年下跌了26%。
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图12–7 普通股1950~1999年的年回报茎叶图。回报四舍五入到整数百分比。茎表示百分比的十位数，叶子表示个位数
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选择描述方式
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五数概括很容易理解，对于大部分的分布而言，它也是最佳的精简描述方式。平均数和标准差比较难懂，却很常用。我们如何决定用哪一种方式来描述分布的中心和幅度呢？让我们先比较一下平均数和中位数。不论用“中间点”还是“算术平均数”（arithmetic average）来描述一组数据的中心，都很合理。但是，二者的概念不同，用处也不一样。它们最重要的差别是，平均数（算术平均数）会因少数极端值而受到很大的影响，而中位数（中间点）则不会。
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例6 平均数和中位数
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表12–1给出了2011~2012赛季洛杉矶湖人队13名球员的大致薪酬。你可以算出这些球员薪酬的平均数为720万美元，中位数是400万美元。
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表12–1 2011~2012赛季洛杉矶湖人队球员的薪酬
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