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标准差被异常值或偏斜分布的长尾巴牵着鼻子走的情况，比平均数还要严重。湖人队全部13名球员薪酬的标准差s是780万美元，而如果不计入三个异常值，则s只有280万美元。还有一个理由让我们应该避免用标准差来描述偏斜分布：因为一个明显偏斜的分布的两边，分布情况并不一样，所以若只用一个数字，比如s，没有办法恰当地描述幅度。而五数概括里有两个四分位数还有最大值与最小值，所以比较理想。一般来说，只有在分布的形状大致对称的时候才用和s，这是比较明智的选择。
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选择适当的数字描述分布
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平均数和标准差会受异常值或偏斜分布的长尾巴的严重影响，而中位数和四分位数则几乎不受影响。
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要描述偏斜分布，或者有异常值的分布，五数概括通常要比平均数和标准差更合适。只有在分布的形状大致对称又没有异常值的时候，才用和s。
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那么，我们为何还要花费精力在标准差上呢？原因在于，对于一种叫作“正态分布”（normal distribution）的重要对称分布来说，平均数和标准差是分布的中心和幅度的理所当然的量度。
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请记住，图形可以提供最清楚的关于分布的总体情况。中心和幅度可以告诉我们分布的某些特征，但不能描述分布的形状。因此，每次得到数据后都应该先画图。
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小结
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本章要点
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• 要呈现一组数据，我们先画出直方图或茎叶图。然后，再加入描述该分布中心和幅度的数字。
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• 描述中心和幅度有两种常用方式：五数概括，平均数和标准差。
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• 五数概括里包含了用来度量中心的中位数M，它位于所有观察值的中间位置，两个用来描述幅度的四分位数Q1和Q3，以及最小和最大观察值。
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• 箱形图是展示五数概括的图形。
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• 平均数是所有观察值的平均值。
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• 标准差度量幅度，它差不多是观察值与平均数的平均距离，所以用标准差的时候，一定是用平均数来度量中心。方差是标准差的平方。
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• 平均数和标准差都会因为少数异常值而受到很大的影响。对于对称分布来说，平均数和中位数差不多一样，但是对偏斜分布来说，平均数会更加偏向长尾方向。
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• 一般而言，大部分的分布都适合用五数概括来描述，而平均数和标准差只适用于大致对称的分布。
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在第11章中，我们介绍了直方图和茎叶图，它们是用于展示单一变量分布的图形工具。我们对图的形状、中心、幅度感兴趣，在这一章，介绍了用于描述分布中心和幅度的几类数字。就对称分布而言，平均数和标准差可用来描述中心和幅度。对于非对称的分布，我们使用五数概括来描述。
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在绝大多数例子里，我们使用图形和数字来描述单一变量的分布。这些观察值通常是某个总体中的一个样本，所以，它们也是第3章讨论的统计值。在后面几章，我们将用统计值得出关于总体的结论，或作为参数的估计值。从描述单一变量的分布中心的参数中得出结论，是一种重要的统计推断。
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案例分析与评估
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点击美国人口普查局的网址，找到按照教育水平分类的收入数据，用本章学到的知识回答以下问题：
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• 25岁及以上高中文化程度的人、大学肄业者、有学士学位的人、有硕士学位的人和有博士学位的人的收入中位数各是多少？在表格的底部可以找到中位数收入（以美元为单位）。
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• 从表格给出的分布里，可以（大致）找到第一四分位数和第三四分位数吗？
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• 是否受教育程度越高的人，赚的钱也越多？请说明。
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练习
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