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关于收入的例子已经够多了，现在举一个你赚钱之后如何投资的例子。投资的首要法则是高风险、高回报，至少从长期来看一般如此。金融界人士将风险定义为投资回报的可变性（可变性大意味着风险高），并用投资回报的不可预测程度作为风险的度量工具。钱存在受政府保护的银行账户，有固定的利息，没有风险，因为其回报是完全确定的。新上市的股票可能一周价格猛涨，一周又快速下跌，其有高风险，因为你无法预测卖出时它会值多少钱。
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投资者应该用统计学思考问题，用年投资回报的分布来评估一项投资。这就意味着你需要了解回报分布的中心值和幅度。只有幼稚的投资者才会只关心高回报，却不管风险有多大，也就是回报的分布或变化大不大。金融专家用平均数和标准差描述投资回报的情况，他们一直认为标准差对于公众来说过于复杂，但是你会注意到，在共同基金的投资报告中，会定期出现标准差。
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以下是三项投资在20世纪的后50年（1950~1999年）的年度平均回报率和标准差，这是一段经济快速增长的时期。
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你可以看到，当平均回报上升时，风险（可变性）也上升了，这种情况符合投资理论。短期国债和长期国债都是美国政府的借债工具，短期国债会在一年后偿还，而长期国债是30年期贷款。它们的风险较高，是因为如果利率上升，债券价值就会下降。股票的风险更大，但回报也更高（长期平均而言），要冒价格大起大落的风险。如图12–7所示，在我们的数据所覆盖的这50年里，某一年股价上涨幅度高达50%，还有一年下跌了26%。
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图12–7 普通股1950~1999年的年回报茎叶图。回报四舍五入到整数百分比。茎表示百分比的十位数，叶子表示个位数
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选择描述方式
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五数概括很容易理解，对于大部分的分布而言，它也是最佳的精简描述方式。平均数和标准差比较难懂，却很常用。我们如何决定用哪一种方式来描述分布的中心和幅度呢？让我们先比较一下平均数和中位数。不论用“中间点”还是“算术平均数”（arithmetic average）来描述一组数据的中心，都很合理。但是，二者的概念不同，用处也不一样。它们最重要的差别是，平均数（算术平均数）会因少数极端值而受到很大的影响，而中位数（中间点）则不会。
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例6 平均数和中位数
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表12–1给出了2011~2012赛季洛杉矶湖人队13名球员的大致薪酬。你可以算出这些球员薪酬的平均数为720万美元，中位数是400万美元。
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表12–1 2011~2012赛季洛杉矶湖人队球员的薪酬
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资料来源：薪酬估计值来自www.sportscity.com/NBA/Los-Angeles-Lakers-Salaries.
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为何平均数比中位数高出那么多呢？图12–8是球员薪酬的茎叶图，茎部分代表百万美元数字。这个分布偏向了右边，而且有三个很高的异常值。科比·布莱恩特、保罗·加索尔和安德鲁·拜纳姆的薪酬很高，拉升了薪酬总额。如果我们把异常值排除，其他10名球员的薪酬平均数是350万美元，而中位数的改变不大，从400万美元降至270万美元。
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我们只要提高科比·布莱恩特的薪酬，就可以让薪酬平均数提高到任何我们想要的数字。因为只要有一个异常值一直往上升，平均数就会跟着上升。但对于中位数来说，科比的薪酬只是位于分布顶端的一个观察值，它从2520万美元变成2.52亿美元，一点儿也不会改变中位数的大小。
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图12–8 洛杉矶湖人队球员薪酬茎叶图
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知识普及 纽约州是富州吗？
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纽约州是一个富州吗？纽约州的个人平均收入在美国50个州中位居第四，和它的邻居康涅狄格州及新泽西州一起名列前茅（后两州分列第一、二名）。但是，康涅狄格州和新泽西州的家庭收入中位数分别位居全美第三名和第二名，纽约州却排在第17名。这是怎么回事？这是平均数不同于中位数的又一个例子。纽约州有许多收入非常高的居民，把平均收入提高了许多。但是，它的贫困户比例比新泽西和康涅狄格都要高，使得家庭收入中位数偏低。所以，纽约州并不富有，它只是同时拥有非常有钱和非常贫穷的居民这两种极端情况的州。
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对称分布的平均数和中位数很接近。事实上，当分布完全对称的时候，和M完全相等。然而，在偏斜分布里，平均数会离中位数而去，偏向较长的尾部。很多和钱有关的分布，例如收入、房价、财富等，都有很明显的右偏现象，平均数可能比中位数大很多。比如，我们在例3中看到，黑人、白人和讲西班牙语家庭的收入就是右偏的。美国人口普查局网站公布的2008年黑人家庭的平均收入是45127美元，讲西班牙语的家庭是50575美元，白人家庭是69107美元；其中位数分别为31969美元、37781美元和50673美元。因为有关钱的数据常常有少数特别大的观察值，所以描述这类分布常用的是中位数而不是平均数。
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在平均数和中位数之间做选择的时候，要考虑的不只是对称分布还有偏斜分布。米德尔敦房屋售价的分布无疑是右偏的，但如果市议会为了决定税率而要估计所有房屋的总市值时，那么对他们有帮助的数字是平均数而非中位数，因为总市值是房屋总数乘以售价平均数，它和中位数没有什么关系。
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