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• 平均数是所有观察值的平均值。
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• 标准差度量幅度，它差不多是观察值与平均数的平均距离，所以用标准差的时候，一定是用平均数来度量中心。方差是标准差的平方。
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• 平均数和标准差都会因为少数异常值而受到很大的影响。对于对称分布来说，平均数和中位数差不多一样，但是对偏斜分布来说，平均数会更加偏向长尾方向。
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• 一般而言，大部分的分布都适合用五数概括来描述，而平均数和标准差只适用于大致对称的分布。
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在第11章中，我们介绍了直方图和茎叶图，它们是用于展示单一变量分布的图形工具。我们对图的形状、中心、幅度感兴趣，在这一章，介绍了用于描述分布中心和幅度的几类数字。就对称分布而言，平均数和标准差可用来描述中心和幅度。对于非对称的分布，我们使用五数概括来描述。
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在绝大多数例子里，我们使用图形和数字来描述单一变量的分布。这些观察值通常是某个总体中的一个样本，所以，它们也是第3章讨论的统计值。在后面几章，我们将用统计值得出关于总体的结论，或作为参数的估计值。从描述单一变量的分布中心的参数中得出结论，是一种重要的统计推断。
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案例分析与评估
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点击美国人口普查局的网址，找到按照教育水平分类的收入数据，用本章学到的知识回答以下问题：
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• 25岁及以上高中文化程度的人、大学肄业者、有学士学位的人、有硕士学位的人和有博士学位的人的收入中位数各是多少？在表格的底部可以找到中位数收入（以美元为单位）。
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• 从表格给出的分布里，可以（大致）找到第一四分位数和第三四分位数吗？
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• 是否受教育程度越高的人，赚的钱也越多？请说明。
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练习
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12.1见本书第284页。
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12.2见本书第284页。
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12.3见本书第293页。
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12.4收入中位数。你已经知道美国住户2010年的收入中位数是49455美元。请用日常用语解释什么叫作“收入中位数”。
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12.5 平均收入。美国人口普查局网站的历史数据中提供了好几种“平均收入”。2010年美国住户的收入中位数是49455美元。平均收入是67530美元，家庭收入中位数是60395美元，平均收入是78361美元。美国人口普查局解释说，住户成员是所有同住一个住宅单位的人，而家庭成员指的是两个或两个以上住在一起，具有经由血缘、婚姻或收养而建立关系的人。详细解释为何平均收入高于收入中位数，以及为何家庭收入高于住户收入。
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12.6 富有的杂志读者。回声媒体报告（2012年1月20日）指出，《福布斯》杂志读者的平均收入是217000美元。你认为这些读者的收入中位数比217000美元是高还是低？为什么？
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12.7 大专院校学费。图11–7是伊利诺伊州116所大专院校学费的茎叶图。茎是千美元数字，叶是百美元数字。举例来说，最高的学费是38600美元，38出现在茎叶图茎的位置上，6出现在叶的位置上。
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（a）替这组伊利诺伊州大专院校学费数据找出五数概括。请注意，茎叶图已经把数据按从小到大的顺序排列了。
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（b）平均学费会明显小于中位数、和中位数差不多还是明显大于中位数？为什么？
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12.8 年轻人住在哪里？图11–10是美国50个州中18~34岁居民所占百分比的茎叶图。茎是百分数的整数部分，叶是百分数小数点后的第一个数字。
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（a）从分布的形状来看，平均数会比中位数大。为什么？
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（b）找出这组数据的平均数和中位数，来证实平均数大于中位数。
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12.9 每加仑英里数。表11–2中有2010年中型车的油耗情况，用每加仑汽油英里数来表示。
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