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练习
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13.2 年轻男性的身高。年轻男性的身高大致是一个平均数为70英寸，标准差为2.5英寸的正态分布。请说明72英寸（6英尺）的标准分是多少？
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正态分布的百分位数
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对正态分布来说，标准分可以直接转换成百分位数，而其他分布则不能做到这一点。
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百分位数
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一个分布的第c百分位数是一个值，具体来说，小于第c百分位数的观察值，在全部观察值中所占百分比为c，而其余的观察值都比第c百分位数上的观察值大。
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任何分布的中位数是该分布的第50百分位数，四分位数是第25与第75百分位数。在任何正态分布中，在平均数之上一个标准差的那个点（标准分为1）是第84百分位数。从图13–10可看出为什么。正态分布的每个标准分，都可以转换成特定的百分位数，不论原来的正态分布的平均数和标准差是多少，所得百分位数都是一样的。在本书附录的表B中，列出了对应不同标准分的百分位数，比起68–95–99.7规则，用这个表可以做更多详细的计算。
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例4 考试成绩单上的百分位数
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珍妮的美国学术能力评估测试的数学部分的分数为600分，其标准分为1。我们从68–95–99.7规则可知，这是第84百分位数。表B更精确一些，可查到标准分1对应的是正态分布的第84.13百分位数。杰拉尔德的美国大学入学考试数学部分的成绩为21分，其标准分为0.5，从表B可查到标准分0.5对应的是第69.15百分位数。杰拉尔德考得不错，但相比珍妮还是差了一些。百分位数比原始分和标准分都更容易理解，这就是为什么考试成绩单上会同时列出分数和百分位数。
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例5 找出对应某百分位数的观察值
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学生要在学术能力评估测试中考多少分才能跻身成绩最高的10%行列呢？这个分数至少要等于第90百分位数。在表B中寻找最接近90的百分位数，你会看到，标准分1.2是第88.49百分位数，标准分1.3是第90.32百分位数。后一个更接近第90百分位数，所以我们得出结论，对于任何正态分布来说，标准分1.3约等于第90百分位数。
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要把标准分还原为原始分，只要把计算标准分的步骤倒过来即可，方法如下：观察值=平均数+标准分×标准差=500+1.3×100=630
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分数为630或更高的学生即属于成绩最高的10%行列。（更确切一点儿说，这些分数属于前9.68%，因为630分确切对应的是第90.32百分位数。）
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练习
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13.3 考试分数。一个学生的学术能力评估测试数学部分的分数需要多少才能跻身前25%的行列？
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小结
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本章要点
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• 茎叶图、直方图和箱形图全都可以用来描述数值变量的分布。
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• 密度曲线也可以描述数值变量的分布。密度曲线下方的面积必定是1，曲线的形状可以描述分布的整体形态。
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• 曲线下方的面积，代表观察值会落在对应区间内的比例。
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• 用目测的方式可以找到密度曲线的中位数（等面积点）与平均数（平衡点）的大致位置。
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• 茎叶图、直方图和箱形图是根据样本统计量绘制出来的。
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• 正态曲线是一种特殊的密度曲线，适用于描述某些类别数据的整体形态。正态曲线呈对称的钟形。一条正态曲线完全可以由它的平均数和标准差来决定。你可以从正态曲线上找出平均数（中间点）的位置与标准差的大小（从平均数到曲率改变的点之间的距离）。所有正态分布都遵循68–95–99.7规则。
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• 标准分是以标准差为单位，把观察值表示成距离平均数有几个标准差，平均数的标准分是零。标准分所对应的百分位数，在所有正态分布中都是一样的。表B列出了正态分布的百分位数。
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第10章到第12章为我们提供了研究单一数值变量的策略。
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