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例4 考试成绩单上的百分位数
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珍妮的美国学术能力评估测试的数学部分的分数为600分，其标准分为1。我们从68–95–99.7规则可知，这是第84百分位数。表B更精确一些，可查到标准分1对应的是正态分布的第84.13百分位数。杰拉尔德的美国大学入学考试数学部分的成绩为21分，其标准分为0.5，从表B可查到标准分0.5对应的是第69.15百分位数。杰拉尔德考得不错，但相比珍妮还是差了一些。百分位数比原始分和标准分都更容易理解，这就是为什么考试成绩单上会同时列出分数和百分位数。
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例5 找出对应某百分位数的观察值
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学生要在学术能力评估测试中考多少分才能跻身成绩最高的10%行列呢？这个分数至少要等于第90百分位数。在表B中寻找最接近90的百分位数，你会看到，标准分1.2是第88.49百分位数，标准分1.3是第90.32百分位数。后一个更接近第90百分位数，所以我们得出结论，对于任何正态分布来说，标准分1.3约等于第90百分位数。
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要把标准分还原为原始分，只要把计算标准分的步骤倒过来即可，方法如下：观察值=平均数+标准分×标准差=500+1.3×100=630
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分数为630或更高的学生即属于成绩最高的10%行列。（更确切一点儿说，这些分数属于前9.68%，因为630分确切对应的是第90.32百分位数。）
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练习
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13.3 考试分数。一个学生的学术能力评估测试数学部分的分数需要多少才能跻身前25%的行列？
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小结
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本章要点
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• 茎叶图、直方图和箱形图全都可以用来描述数值变量的分布。
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• 密度曲线也可以描述数值变量的分布。密度曲线下方的面积必定是1，曲线的形状可以描述分布的整体形态。
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• 曲线下方的面积，代表观察值会落在对应区间内的比例。
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• 用目测的方式可以找到密度曲线的中位数（等面积点）与平均数（平衡点）的大致位置。
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• 茎叶图、直方图和箱形图是根据样本统计量绘制出来的。
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• 正态曲线是一种特殊的密度曲线，适用于描述某些类别数据的整体形态。正态曲线呈对称的钟形。一条正态曲线完全可以由它的平均数和标准差来决定。你可以从正态曲线上找出平均数（中间点）的位置与标准差的大小（从平均数到曲率改变的点之间的距离）。所有正态分布都遵循68–95–99.7规则。
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• 标准分是以标准差为单位，把观察值表示成距离平均数有几个标准差，平均数的标准分是零。标准分所对应的百分位数，在所有正态分布中都是一样的。表B列出了正态分布的百分位数。
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第10章到第12章为我们提供了研究单一数值变量的策略。
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• 通常用直方图或茎叶图来描述变量的分布。
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• 观察整体形态（形状、中心和幅度）和显著偏差。
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• 用五数概括、平均数和标准差等数字简要描述分布的中心和幅度。
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在这一章，我们增加了一个步骤：有时大量观察值的整体形态是非常规则的，以至于我们可以用一条光滑的密度曲线来描述，比如正态曲线。这也让我们可以将大量观察值当作一个总体，并使用密度曲线描述总体的分布情况。我们用正态曲线准确描述了年轻女性的身高和学生学术能力评估测试数学部分的成绩。
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用密度曲线来描述一个总体的分布很方便，可以让我们无须查看总体的所有观察值，就能确定分布的百分位数。这也表明了用图描述单一数值变量的分布的实质，就是使用描述样本统计量的分布，做出描述总体参数分布的结论。我们在后面几章里还会继续深入探讨这个话题。
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案例分析与评估
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正态曲线非常好地模拟了图13–2和图13–3的样本统计量的分布。用本章所学的知识回答以下问题：
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