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例3 化石分类
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始祖鸟是一种已灭绝的动物，有鸟类一样的羽毛，但也有牙齿和骨骼的长尾巴。目前，只发现了6个始祖鸟化石，由于这些化石的大小不一，科学家认为它们是属于不同的种类而非同一种类的个体。我们将测量其中5件有股骨（一种腿骨）和肱骨（一种上臂的骨头）的化石的骨头长度（单位是厘米），具体数据如下：
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因为这两个变量之间并不存在解释变量和反应变量的区别，所以在散点图中把哪个标示在横轴上都没关系，如图14–5所示。
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这个散点图显示出了很强的正线性相关关系。线性相关是重要的相关形式，因为它既常见，又简单易用。之所以说相关性很强，是因为点的分布十分接近一条直线。之所以说正相关，是因为当一种骨头的长度增加时，另一种骨头的长度也增加。从这些数据看，这5件化石应该属于同一种类的始祖鸟，大小不同是因为有的比较年幼。我们认为，在这两种骨头长度之间，不同种类应该有不同的相关性。因此，在这个散点图上，一个不同的种类应该会对应一个异常点。
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图14–5 5件始祖鸟化石的两种骨头（股骨与肱骨）长度的关系散点图
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练习
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14.2 脑容量和智力。几个世纪以来，人们一直在研究智力与脑容量的关系。最近一项研究用磁共振成像技术测量了一些人的脑容量。其中6个人的脑容量（单位为万像素）和IQ值如下：
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如果你还没试过，就用这些数据画一个散点图。其形式、方向和相关性强度如何？有无异常点？
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相关系数
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散点图可以呈现出两个变量之间相关关系的方向、形式和强度。当点的分布十分接近直线时，相关性就很强，而当点在直线附近很分散时，相关性就弱。光用眼睛看，不容易判断出相关性有多强。图14–6的两个散点图展示的是同一组数据，只是右边的图坐标涵盖范围较大，所以点变得比较靠近，似乎显示出较强的相关性。只要改一改散点图坐标轴上的刻度，或者点和点之间的空白处的大小，我们的眼睛就可能会上当。所以，我们得遵照数据分析的一般策略，除了图以外还要加上数值量度，“相关系数”（correlation）就是我们要用的量度。
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图14–6 同一组数据的两幅散点图。右图因为四周围空白较多，使得两个变量之间的相关性看上去比较强
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相关系数
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相关系数描述两个数值变量之间线性相关关系的方向和强度。相关系数通常用符号r表示。
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要计算相关系数得下点儿功夫。通常来说，你可以把r看成按计算器的某个键或在电脑中输入某个指令就可以得到的值，你只需要了解它的性质和用处。但是，如果知道r值是如何用数据计算出来的，对于了解相关系数的性质和用处将会有很大的帮助，所以我们还是举例告诉你r值怎么计算。
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例4 计算相关系数
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我们有n个个体的两种变量x和y的数据。以例3的化石数据来说，x是股骨长度，y是肱骨长度，n=5。
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第一步：分别求出x和y的平均数和标准差。根据化石数据，用计算器可以算出：
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我们用sx和sy这样的符号，是为了提醒自己这里有两个不同的标准差，一个对应变量x，一个对应变量y。