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第二步：用第一步得到的平均数和标准差，求出每个x和y的标准分。
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第三步：相关系数就是标准分的乘积的平均值。我们在此用n–1作为除数求平均数：
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例4中的计算过程，可以用以下的简化代数式表示：
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其中这个符号代表“求和”。
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了解相关系数的意义
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比计算r值（这是技术性工作）更重要的是，了解相关系数怎么度量相关性。以下是相关要点：
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• 正的r值表明变量之间是正相关关系，负的r值表明变量之间是负相关关系。图14–5的散点图显示出股骨长度和肱骨长度之间有很强的正相关性。其中有三件化石的两种骨头的长度都比平均数长，所以x变量和y变量的标准分都是正的。而另外两件化石的两种骨头长度都低于平均数，所以x和y的标准分都是负的。由此得到的乘积全是正的，所以r值为正。
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• 相关系数r的值，永远在–1和+1之间。r值若接近0，表示相关性很小。当r由0向–1或+1趋近时，相关关系的强度会逐渐增加。r值若接近–1或+1，表示点的分布十分接近一条直线。r=–1和r=1这两种极端值的情况，只在散点图中的点全部落在同一条直线上时才会发生。
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例4计算得出r=0.994，反映出图14–5中的强正线性相关关系，图14–7说明r怎样度量线性相关关系的方向和强度，你可以仔细研究一下这些图。请注意，r的符号和每个图的倾斜方向一致，当图的形态越来越接近直线时，r会越来越接近–1或1。
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•因为r是用观察值的标准分算出来的，当我们分别或同时改变x、y的度量单位时，x和y之间的相关系数不会改变。例4中的骨头长度如果用英寸而不用厘米为单位，相关系数仍然是r=0.994。
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图14–7 相关系数如何度量线性相关关系的强度。越接近直线的形态，相关系数越趋近于1或–1
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我们用来描述单一变量的各种数字，所使用的单位和观察值的单位相同。如果我们用厘米来度量长度，那么中位数、四分位数、平均数及标准差的单位也全是厘米。不过，两个变量间的相关系数可没有度量单位，它只是介于–1和1之间的一个数字。
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• 相关系数不理会解释变量和反应变量之间的区别。假如我们把x变量和y变量的名称互换，相关系数还是一样。
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• 相关系数度量的只是两个变量线性相关性的强度。相关系数不能描述两个变量间的曲线相关性，不管这种相关性有多强。
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•和平均数以及标准差一样，相关系数也会受少数异常观察值的巨大影响。当散点图中出现异常点时，用起r来要特别小心。我们以图14–8为例进行说明。假设我们把第一件化石的股骨长度从38厘米改为60厘米，这件化石的数据就不能和其他的化石数据大致成一条直线，而会变成异常值，相关系数也会从原来的r=0.994减小到r=0.640。
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图14–8 只需移动一个点，就会把相关系数从r=0.994变成r=0.640
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练习