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练习
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19.1 随机抽一张扑克牌。在一副标准的52张扑克牌中，有13张黑桃、13张红心、13张方块和13张梅花。你如何在模拟时分配代表从52张牌中随机抽取的某张牌花色（黑桃、红心、方块和梅花）的数字？
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“我知道了！模拟树木，模拟羽毛，模拟咖啡，而现在是模拟概率！”
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关于独立性的思考
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在讨论更精细的统计模拟之前，有必要更深入地讨论独立性的概念。我们之前说过，独立性只能通过观察多次重复的随机现象加以验证。也许更准确的说法是，缺乏独立性只能通过随机现象的多次重复加以验证。人们如何识别两个并非彼此独立的随机现象呢？例如，我们如何判断多次抛一枚公平的硬币（也就是出现正面朝上和反面朝上的概率各占一半）的结果是不是彼此独立的呢？
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其中一个方法是依据“独立性”的定义，计算出现同一种结果的比例。换言之，就是在出现正面朝上的结果之后再次出现正面朝上的频次。如果每次抛掷的结果都是独立的（一次抛掷的结果不会影响另一次抛掷结果出现的概率），那么在多次抛掷之后，正面朝上的比例应该接近0.5。
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例3 验证独立性
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假设我们抛一枚正常的硬币15次，并得到以下结果：
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对于前14次抛掷，有9次都是正面朝上，那么这个比例为：
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对于这么少的次数来说，这个比例不能算一个离0.5很远的数字。
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假设我们不是用抛硬币的方式，而是按照以下模式让硬币正面朝上或反面朝上：
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开始是两个正面朝上，接着是两个反面朝上，再接着是两个正面朝上，以此类推。只要我们知道前一个结果，就会知道后面的结果是什么，这些结果之间不是彼此独立的。尽管如此，后面的结果和前面相同（比如，正面后面还是正面，或反面后面跟着反面）的比例为：
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所以，我们的方法可以识别缺乏独立性的情况，而不是具有独立性的情况。
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另一个评估独立性的方法建立在相关系数的基础之上，我们在第14章讨论过这个概念。如果两个随机现象具有数值结果，而且我们在n次实验中都观察到了，那么可以根据这些数据计算出两者的相关系数。如果这两个随机现象是彼此独立的，它们之间应该不存在线性相关关系，相关系数接近于零。
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但是，两个随机现象的相关系数是零，并不一定意味着它们彼此独立。在练习14.19里，速度和油耗情况之间存在清晰的曲线相关关系，但是相关系数为零。独立性意味着完全无关，而相关系数度量的只是相关关系的强度。
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由于独立性意味着没有关系，如果两个变量是彼此独立的，我们就不会在散点图中看到任何形态。所以，观察散点图也是一种判断变量是否缺乏独立性的方法。
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有很多评估独立性的方法。例如，如果结果不是独立的，比如，出现正面朝上的结果提高了下一次正面朝上的概率，那么在一连串抛掷后，我们可以预测会出现更多正面朝上的结果。我们在第17章的例5里提到了这个不常见的情况。如果一名篮球运动员“手风正顺”，人们就会认为他会连续投篮命中。尽管如此，细致的研究表明，如果这名球员之前的每次投篮都是独立的，下一次命中的概率并不会更大。
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更复杂的模拟
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随机模型的建立和模拟是现代科学强有力的工具，并且不需要懂得高深的数学知识就可以掌握。不仅如此，只要你自己试着模拟随机现象几次，就会加强你对概率的了解，比读这本书还有用。现在，我们有两个目标：一是了解模拟本身，二是为进一步了解概率而了解模拟。我们来看两个更复杂的例子。
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