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用符号表示，假设可能的结果是a1、a2…ak，它们的概率分别是p1、p2…pk，则期望值是：
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期望值=a1p1+a2p2+…+akpk
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期望值是所有可能结果的平均数，但不像平常的平均数一样对所有结果一视同仁，而是要把每个结果依照它的概率来加权。所以，经常发生的结果，就有比较高的权重。
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例2“六组连胜”彩票
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例1中的彩票是在你选的三位数与中奖号码完全相同时付给你彩金。你也可以选择另一种售价1美元的“六组连胜”彩票。你还是要选一个三位数，但是现在有两种情况可以赢钱。如果你选的三位数和中奖号码一样，你可以赢292美元；如果三个数字一样但排列顺序不同，你就只能得到42美元。比如，假设你选的三位数是123，中奖号码也是123，你就可以得到292美元。如果中奖号码是132、213、231、312和321其中之一，你就只能得到42美元。长期下来，每赌1000次，你就有1次机会赢得292美元，有5次机会赢得42美元，所以你赢钱的概率模型是：
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期望值是：
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期望值=0美元×0.994+42美元×0.005+292美元×0.001=0.502美元
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看来这个游戏比例1稍好，因为州政府支付的彩金要比总下注金额的一半多一点儿。
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“三州每日一数”在所有州彩票游戏当中是比较特别的一种，它的各种赌法所支付的彩金是固定的，而大部分的州在支付彩金时用的是“同注分彩赌博”（pari-mutuel）系统。新泽西州的“选三号”游戏就是一个典型代表：州政府把下注金额全部加起来，用一半来当作彩金，由所有彩票中奖者均分。你还是有1/1000的概率中奖，但是你选的号码123会替你赢多少钱，一方面要看那天下注的金额有多少，另一方面要看有多少人选了123这个号码。因为彩金不固定，选123这个号码的期望值就没办法计算，但有一点是不变的，就是州政府留下了一半赌金。
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把期望值当作平均值的这种概念，不仅可以用在机会游戏上，也可以用在其他的随机结果上。比如，它还可以用于描述买股票或建新工厂等回报不确定的投资。以下是一个不一样的例子。
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知识普及 在彩票上做手脚
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美国人都在电视上看过彩票开奖的实况直播，看到号码球上下乱跳，在空气压力的作用下随机弹跳出来。怎么样可以对开出的号码做手脚呢？1980年，宾夕法尼亚州乐透被面带微笑的主持人与几个舞台工作人员动了手脚。他们把10个号码球中的8个注入油漆，让球变重，由此可以保证跳出来的三个球中必定包含那两个未注入油漆的号码球。然后，这些人下注买包含那两个号码的所有数字组合。当开出的中奖号码是666的时候，他们赢了120万美元。是的，他们后来被逮捕了。
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例3 每户几辆车？
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在美国，每个住户平均拥有几辆车？人口普查局告诉我们，每户车辆数的分布（基于2000年普查）如下：
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这是任意选择一个住户，并计数它有几辆车的概率模型。（我们忽略了那些拥有超过5辆车的住户。）这个模型的期望值，是每个住户拥有的平均车辆数。这个期望值是：
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期望值=0×0.10+1×0.34+2×0.39+3×0.13+4×0.03+5×0.01=1.68辆/户
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练习
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20.1 18岁以下的孩子数目。人口普查局给出了2009年美国家庭拥有18岁以下孩子数目的分布：
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在这个表中，4实际上代表了4个或更多孩子。但出于练习的目的，假设它在这里指的是家里有4个18岁以下的孩子，其对应的比例也是随机抽取的家庭有4个18岁以下孩子的概率。这个分布的期望值是一个拥有18岁以下孩子的平均家庭数目，这个期望值是多少？
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大数定律
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