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期望值是：
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期望值=0美元×0.994+42美元×0.005+292美元×0.001=0.502美元
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看来这个游戏比例1稍好，因为州政府支付的彩金要比总下注金额的一半多一点儿。
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“三州每日一数”在所有州彩票游戏当中是比较特别的一种，它的各种赌法所支付的彩金是固定的，而大部分的州在支付彩金时用的是“同注分彩赌博”（pari-mutuel）系统。新泽西州的“选三号”游戏就是一个典型代表：州政府把下注金额全部加起来，用一半来当作彩金，由所有彩票中奖者均分。你还是有1/1000的概率中奖，但是你选的号码123会替你赢多少钱，一方面要看那天下注的金额有多少，另一方面要看有多少人选了123这个号码。因为彩金不固定，选123这个号码的期望值就没办法计算，但有一点是不变的，就是州政府留下了一半赌金。
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把期望值当作平均值的这种概念，不仅可以用在机会游戏上，也可以用在其他的随机结果上。比如，它还可以用于描述买股票或建新工厂等回报不确定的投资。以下是一个不一样的例子。
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知识普及 在彩票上做手脚
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美国人都在电视上看过彩票开奖的实况直播，看到号码球上下乱跳，在空气压力的作用下随机弹跳出来。怎么样可以对开出的号码做手脚呢？1980年，宾夕法尼亚州乐透被面带微笑的主持人与几个舞台工作人员动了手脚。他们把10个号码球中的8个注入油漆，让球变重，由此可以保证跳出来的三个球中必定包含那两个未注入油漆的号码球。然后，这些人下注买包含那两个号码的所有数字组合。当开出的中奖号码是666的时候，他们赢了120万美元。是的，他们后来被逮捕了。
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例3 每户几辆车？
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在美国，每个住户平均拥有几辆车？人口普查局告诉我们，每户车辆数的分布（基于2000年普查）如下：
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这是任意选择一个住户，并计数它有几辆车的概率模型。（我们忽略了那些拥有超过5辆车的住户。）这个模型的期望值，是每个住户拥有的平均车辆数。这个期望值是：
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期望值=0×0.10+1×0.34+2×0.39+3×0.13+4×0.03+5×0.01=1.68辆/户
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练习
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20.1 18岁以下的孩子数目。人口普查局给出了2009年美国家庭拥有18岁以下孩子数目的分布：
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在这个表中，4实际上代表了4个或更多孩子。但出于练习的目的，假设它在这里指的是家里有4个18岁以下的孩子，其对应的比例也是随机抽取的家庭有4个18岁以下孩子的概率。这个分布的期望值是一个拥有18岁以下孩子的平均家庭数目，这个期望值是多少？
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大数定律
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期望值是所有可能结果的平均值，但在计算平均值时，概率大的结果占的比重较高。我认为期望值也是另一种意义上的平均结果，它代表如果我们重复赌很多次，或者随机选出很多住户，实际上可以估算出的长期平均值。这并不只是直觉，数学家只要用概率的基本规则就可以证明，用概率模型算出来的期望值，真的就是“长期平均值”。这个有名的事实叫作“大数定律”。
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大数定律
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大数定律是指，如果结果为数值的随机现象独立地重复出现许多次，实际观察到的结果的平均值会趋近于期望值。
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大数定律和概率的概念密切相关。在许多次独立的实验当中，每个可能结果的发生比例都会接近它的概率，所得到的平均结果也会接近期望值。这些事实反映了机会事件的长期规律性，它是我们在第17章所讨论的“平均律”的一个真正版本。
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大数定律解释了为什么对个人来说是一种消遣或嗜好的赌博，对赌场来说却是生意。经营赌场根本就不是在赌博，大量客人赢钱的平均数会很接近期望值。赌场经营者事先就算好了期望值，并且知道长期下来自己的收入会有多少，所以并不需要通过在色子里灌铅或者在洗牌时作弊来保证利润。赌场只要花心思提供不贵的游戏和便宜的交通工具，让顾客川流不息地进场就行了。只要赌注足够多，大数定律就能保证赌场赚钱。人寿保险公司的运作也很像赌场，它赌买保险的人不会死。当然，有些人确实会死，但是保险公司知道概率，并且依赖大数定律来预测必须赔付的保险金的平均数目。然后，保险公司会把保费定得足够高，以保证自己的利润。
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深入探讨期望值
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跟概率一样，期望值和大数定律都值得我们再花些时间去探讨相关的细节问题。
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