1702639045
图21-5 正态分布的临界值z*。在任何正态分布中，在平均数两侧z*个标准差范围内，曲线下方的面积（概率）是C
1702639046
1702639047
表21-1里有不同C值对应的z*值。为了方便应用，表中的C用百分比表示，z*被称为正态分布的“临界值”（Critical value）。从表21-1可以看出，任意正态分布在平均数±2.58个标准差范围内的概率是99%，任意正态分布在平均数±1.96个标准差范围内的概率是95%。在68-95-99.7规则中，用2来代替临界值z*=1.96，就实际应用来说已经够好了，但表21-1中是更精确的C值。
1702639048
1702639049
表21-1 正态分布的临界值
1702639050
1702639051
1702639052
1702639053
1702639054
1702639055
从图21-5可以看出，样本比例p的值会落在p的z*个标准差范围内的概率是C。也就是说，从观察到的p值往两侧各延伸z*个标准差所得到的区间，会包含未知的p的概率是C。的标准差用估计值代替，就可以得到下面的公式。
1702639056
1702639057
总体比例的置信区间
1702639058
1702639059
1702639060
从一个总体中抽取一个大小为n的简单随机样本，总体中的成功比例为p，样本中的成功比例为。当n足够大时，在置信度为C的情况下，p的置信区间为：
1702639061
1702639062
1702639063
1702639064
1702639065
公式中的z*是表21-1中对应置信水平C的临界值。
1702639066
1702639067
例5 99%置信区间
1702639068
1702639069
BRFSS在2010年访问了一个包含6911名加州大学毕业生的随机样本，发现792人在过去一年有过酗酒经历。我们想找出所有加州大学毕业生在过去一年中酗酒人数比例的99%置信区间。在表21-1中，对应99%置信度，z*=2.58个标准差。以下是计算过程：
1702639070
1702639071
1702639072
1702639073
1702639074
我们有99%的把握认为，真实的总体比例在0.1052~0.1248之间。也就是说，我们得到这个区间的方法，在99%的时候会产生正确的结果。
1702639075
1702639076
比较例5和例3中95%置信区间的计算过程，会发现两者唯一的差别就在于，95%置信度时所用的2在99%置信度时被临界值2.58所取代。这样做导致99%置信度的误差范围较大，置信区间较宽。较高的置信度可不是免费的，代价就是较宽的置信区间。从图21-5可以看出为什么会这样。要涵盖正态曲线下方的较大面积，从中心点往两边走的距离就会远一些。
1702639077
1702639078
练习
1702639079
1702639080
21.2 赌博。2011年5月盖洛普访问了一个包括1018名美国成年人的随机样本，发现其中有31%的人认为赌博是不道德的。计算全体美国成年人中认为赌博是不道德的人数比例的99%置信区间。你怎样解释这个结果？
1702639081
1702639082
样本平均数的抽样分布
1702639083
1702639084
1702639085
1702639086
你们学校的大一新生每周用于学习的平均时间是多少？他们在高中时期的平均分数是多少？我们经常想估算总体平均数。为了区分总体平均数（一个参数）和样本平均数，我们将总体平均数记为希腊字母μ。接下来，我们用简单随机样本的平均数来估算未知的总体平均数μ。
1702639087
1702639088
1702639089
1702639090
1702639091
1702639092
和样本比例一样，一个大的简单随机样本的平均数拥有近似正态分布的随机分布。由于简单随机样本的平均值是μ的一个无偏估计值，因此的抽样分布以μ作为平均数。的标准差取决于总体的标准差，后者通常记作希腊字母σ。在数学领域中，我们可以发现以下事实：
1702639093
1702639094
样本平均值的抽样分布