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从一个平均数为μ、标准差为σ的总体中抽取一个样本量为n的简单随机样本，代表样本平均数。那么：
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• 当样本量n很大时，的抽样分布近似于正态分布。
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• 抽样分布的平均数等于μ。
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• 抽样分布的标准差是σ/。
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根据多个样本算出的样本平均数以总体的真实平均数μ为中心，这并不奇怪，因为随机抽样没有偏差。其他两个有关抽样分布的事实为样本平均数赋予了两个非常重要的特征：
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• 一系列观察值的平均数的变化并没有独立的观察值那么大。
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• 一系列观察值的平均数的分布，比单一观察值的分布更接近于正态分布。
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图21-6展示了第一个特征。该图比较了10个观察值的平均数的分布和单一观察值的分布，两个分布的中心是同一个，但是的分布范围没有后者那么大。在图21-6中，单一观察值的分布是正态分布，如果这是真的，那么的抽样分布对于任何大小的样本都是正态分布，而不只是对于大样本。一个杰出的统计事实被称为“中心极限定理”（central limit theorem），指的是只要我们从任何总体中随机抽取越来越多的样本，这些样本观察值的平均数分布就会趋近于正态分布。（对于这个重要事实，还有一些技术上的要求，但在本书中我们假设这些要求都得到了满足。）中心极限定理支持用正态抽样分布代替样本平均数分布的应用。
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图21-6 10个观察值的样本平均数的抽样分布与单一观察值分布的比较
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例6 中心极限定理的应用
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图21-7展示了中心极限定理的应用。左上方的密度曲线展示了一个总体中的单一观察值的分布，它是强烈右偏的。像这样的分布可以是修理家用电器所需的时间，大多数修理工作很快就可以完成，有些则比较费时。
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图21-7的其他三条密度曲线分别展示了从总体中抽取2、10和25个样本的平均数的抽样分布。当样本量增大时，分布的形状变得更接近于正态分布了。平均数保持不变，标准差以μ/的比例减小。10个观察值的分布仍有点儿右偏，但已经接近于正态分布了；n=25的密度曲线更接近于正态分布。总体平均数的分布和10个、25个观察值的平均数分布相较，二者的区别很明显。
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图21-7 样本平均数的分布在样本量增大时会更接近于正态分布。单一观察值（n=1）的分布远非正态分布。2、10和25个观察值的平均数的分布越来越接近于正态分布
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总体平均数的置信区间
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的标准差同时取决于样本量n和标准差σ。我们知道n，但不知道σ。当n很大时，样本标准差s接近于σ，而且可以用s来估算σ，就像我们用样本平均数估算总体平均数μ一样。因此，估算标准差的公式就是s/。
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