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• 一系列观察值的平均数的变化并没有独立的观察值那么大。
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• 一系列观察值的平均数的分布，比单一观察值的分布更接近于正态分布。
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图21-6展示了第一个特征。该图比较了10个观察值的平均数的分布和单一观察值的分布，两个分布的中心是同一个，但是的分布范围没有后者那么大。在图21-6中，单一观察值的分布是正态分布，如果这是真的，那么的抽样分布对于任何大小的样本都是正态分布，而不只是对于大样本。一个杰出的统计事实被称为“中心极限定理”（central limit theorem），指的是只要我们从任何总体中随机抽取越来越多的样本，这些样本观察值的平均数分布就会趋近于正态分布。（对于这个重要事实，还有一些技术上的要求，但在本书中我们假设这些要求都得到了满足。）中心极限定理支持用正态抽样分布代替样本平均数分布的应用。
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图21-6 10个观察值的样本平均数的抽样分布与单一观察值分布的比较
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例6 中心极限定理的应用
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图21-7展示了中心极限定理的应用。左上方的密度曲线展示了一个总体中的单一观察值的分布，它是强烈右偏的。像这样的分布可以是修理家用电器所需的时间，大多数修理工作很快就可以完成，有些则比较费时。
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图21-7的其他三条密度曲线分别展示了从总体中抽取2、10和25个样本的平均数的抽样分布。当样本量增大时，分布的形状变得更接近于正态分布了。平均数保持不变，标准差以μ/的比例减小。10个观察值的分布仍有点儿右偏，但已经接近于正态分布了；n=25的密度曲线更接近于正态分布。总体平均数的分布和10个、25个观察值的平均数分布相较，二者的区别很明显。
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图21-7 样本平均数的分布在样本量增大时会更接近于正态分布。单一观察值（n=1）的分布远非正态分布。2、10和25个观察值的平均数的分布越来越接近于正态分布
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总体平均数的置信区间
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的标准差同时取决于样本量n和标准差σ。我们知道n，但不知道σ。当n很大时，样本标准差s接近于σ，而且可以用s来估算σ，就像我们用样本平均数估算总体平均数μ一样。因此，估算标准差的公式就是s/。
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现在，我们可以用计算p的置信区间的方法算出μ的置信区间。最重要的是，为了覆盖正态曲线下的中心区域C，我们必须从平均值开始向两侧各延伸z*个标准差的距离。从图21-5中可以看出C和z*之间的关系。
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总体平均数的置信区间
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从一个平均数为μ的大型总体中抽出一个样本量为n的简单随机样本，这个样本的平均数是。当n足够大时，μ的近似置信度C的置信区间是：
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其中z*是置信度C的临界值（表21-1）。
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我们在估算p时的提醒也适用于此，这个方法只在样本为简单随机样本且样本量n足够大时才有效。样本量多大才算足够大呢？答案取决于总体分布的真实形状。样本量n≥15通常足够大了，除非存在极端的异常值或明显的偏斜。对于明显偏斜的分布，样本量n≥40通常足够大了，如果没有异常值出现。
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