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布冯伯爵抛硬币实验的真相
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例2 布冯伯爵抛硬币实验
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法国自然主义者布冯伯爵抛了4040次硬币，有2048次正面朝上，正面朝上的样本比例是：
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这个结果比0.5稍多一点儿。这是不是布冯的硬币不平衡的证据呢？此时显著性检验可以登场了。
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假设。零假设说硬币是平衡的（p=0.5）。在我们看到数据之前，并没有怀疑硬币会偏向哪一面，所以备择假设只是“硬币不平衡”。两个假设分别是：
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H0：p=0.5
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Ha：p≠0.5
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样本分布。如果零假设为真，样本中正面朝上的比例就会近似于正态分布：
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数据。图22-2展示了这个抽样分布，并标示出布冯的样本结果=0.507。我们从图上就可以看出样本结果很正常，无法提供否定p=0.5断言的证据。
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图22-2 抛硬币4040次，正面朝上比例的抽样分布。布冯伯爵得到的正面朝上的样本比例标示如图
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P值。得到结果和0.5的差距与样本结果0.507和0.5的差距一样大的概率是多少？因为备择假设的值可能在0.5的左边，也可能在它的右边，值往左右任何一侧偏离0.5，都可提供否定H0而支持Ha的证据。因此，P值是观察值往左右任何一侧偏离0.5的程度至少和=0.507相同的概率。图22-3用正态曲线下方的面积来表示这个概率p=0.37。
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结论。在布冯实验中，真正平衡的硬币会有37%的时候得到离0.5更远的结果。布冯的实验结果让我们没有理由认为他的硬币不平衡。
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例1中的备择假设Ha：p＞0.5是“单边备择假设”（one-sided alternative），因为我们想要寻找证据证明总体比例大于1/2。例2中的备择假设Ha：p≠0.5是“双边备择假设”（two-sided alternative），因为我们只想知道硬币是否平衡。因此，样本结果到底是单向还是双向偏离，才可以算作否定H0而支持Ha的证据，要根据备择假设是单边还是双边来决定。
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图22-3 检验布冯伯爵的硬币是否平衡所得到的P值。它是假设硬币平衡时样本比例与0.5之间的距离，会至少像布冯的样本结果0.507与0.5之间的距离一样远的概率
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练习
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22.1 抛硬币。我们没耐心像布冯那样抛几千次硬币，所以只抛了50次硬币，其中有21次是正面朝上。正面朝上的比例是：
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