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练习
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24.2 玩游戏和学习成绩。计算机、视频、在线和虚拟现实游戏的普及，引发了它们是否会对年轻人产生负面影响的讨论。近期的一项调查对康涅狄格州高中的1808名14~18岁的学生，按照其学习成绩和是否玩过这类游戏进行分类。下表是该调查发现的情况，同时给出了观察到的计数和预期计数：
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请你计算卡方统计量。
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因为χ2度量的是观察到的计数与H0为真时的预期计数的差距，所以如果它的值偏大，就是不利于H0的证据。χ2=10.5算不算大呢？你知道该怎么处理：把10.5这个观察值和χ2的抽样分布做比较，χ2的抽样分布会展示出在零假设为真时χ2的值会有怎样的变化。这个抽样分布不是正态分布，而是右偏分布，又因为χ2的值不可能为负，所以它只包含大于0的值。此外，对应不同大小的双向表，抽样分布也会不同。
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卡方分布
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当“没有相关关系”的零假设为真时，卡方统计量χ2的抽样分布叫作“卡方分布”（chi-square distribution）。
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卡方分布是一整组分布，只有正值且是右偏的。特定的卡方分布是由它的“自由度”（degrees of freedom）决定的。
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有r行和c列的双向表所对应的卡方检验，用的是自由度为（r－1）（c－1）的卡方分布之临界值。
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图24-2中画出了三种卡方分布的密度曲线。当自由度增加时，密度曲线的偏斜程度会减小，而较大值出现的可能性加大。我们没有办法用纸笔计算出卡方分布密度曲线下方的面积从而找出P值，但可以用软件来算。表24-1是一条捷径，它列出了在不同的显著性水平下，卡方统计量χ2的值至少要多大，才能使结果具有统计学显著性。这虽然不如实际找出P值那么好，但通常也足够好了。每一种自由度在表中对应不同的行，比如我们可以从表中查到自由度为3的卡方统计量，如果值大于7.81，则有5%的统计学显著性水平；如果值大于11.34，则有1%的统计学显著性水平。
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图24-2 卡方分布组中三个成员的密度曲线
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表24-1 要在水平为α时具有统计学显著性，卡方统计量的值必须大于α对应的那一行的值
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例5 可卡因成瘾
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我们已经看到，去郁敏比锂盐、安慰剂明显有更多的成功案例，而失败案例较少。在比较观察到的计数和预期计数之后，我们可以得出卡方统计量χ2=10.5。最后一步是显著性评估。
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可卡因成瘾实验的双向表由三种处理方式和两种结果组成，共有3行2列，即r=3，c=2。卡方统计量的自由度是：
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（r－1）（c－1）=（3－1）（2－1）=2
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在表24-1中查看自由度df=2那一行，可以看到χ2=10.5大于α=0.01的显著性水平所对应的临界值9.21，而小于α=0.001的显著性水平对应的临界值13.82。因此，处理方式和戒瘾成功之间存在具有统计学显著性的相关关系（P＜0.01）。
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显著性检验只能证明处理方式和戒瘾成功之间有某种相关关系。我们还要检视双向表，了解这种关系的本质：去郁敏比另外两种处理方式对戒除可卡因瘾更有效。
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练习
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24.3 玩游戏和学习成绩。计算机、视频、在线和虚拟现实游戏的普及，引发了它们是否会对年轻人产生负面影响的讨论。近期的一项调查对康涅狄格州高中的1808名14~18岁的学生，按照其学习成绩和是否玩过这类游戏进行分类。下表是该调查发现的情况，同时给出了观察到的计数和预期计数：