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η=（F11F12F21F22）1/4 （12.A.2）
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因此，η只是期望单元格频数的几何均值（一组n个数值的几何均值是它们的乘积开n次方）。从这个意义上讲，η是一个测度因子；这样做的原因是考虑到各个表中每个单元格具有不同的平均样本数。
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接下来，我们将行效应表示为单元格频数的函数。我们可以将两个条件比率的乘积写作η和τ的函数，并将其简化：
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因此，
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τX1=［（F11/F21）（F12/F22）］1/4=［（F11F12）/（F21F22）］1/4 （12.A.4）
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也就是说，我们从公式12.A.4中可以看到，τ是两个条件比率乘积的函数。但是，在式12.A.4第二行的分子和分母上同时乘以（F11F12）1/4，并将其简化，我们能得到一个更好解释的表达式，即：
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我们从公式12.A.5看到，第一行的效应参数τX1是第一行的单元格平均值与表中所有单元格平均值的比率（这里的平均值是指几何平均值）。因此，τ大于1意味着表中极大比例的样本在第一行，而τ小于1意味着表中极小比例的样本在第一行。类似地，对于与第二行相关的效应参数，以及对于列的效应参数，我们能够用同样的方法推导出相应的表达式。
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最后，我们能够推导出可以解释的交互项效应参数的表达式。为了理解这一点，我们将期望比率比（F11/F21）/（F12/F22）写作η与τ的函数，并像我们在前面所做的那样将其简化：
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从而得到：
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因而［τXY11］=（F11/F21）/（F12/F22） （12.A.7）
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τXY11=［（F11/F21）/（F12/F22）］1/4 （12.A.8）
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因此，τXY11是两个条件比率之比的函数。如果将公式12.A.8右边的分子和分母同时乘以期望频数的几何均值（F11F12F21F22）1/4，并将其简化，我们同样可以得到一个更好解释的表达式：
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我们从公式12.A.9看到，交互项效应参数τXY11是两个对角线单元格的平均值与所有单元格平均值的比率。如果这个τ大于1，则X和Y之间存在正相关（或在对数线性模型中被称为交互效应）；如果这个τ小于1，则X和Y之间存在负相关（假设每种情况下类别1都是“正”值）。我们用同样的方法能够推导出其他交互项效应参数的表达式。
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这些关系可以推广到2×2以上表格的情况，但这已经超出了现在讨论的范畴。那些希望了解这一专题的读者可以参考本章在文献注释部分列出的文献。
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 [:1702644809]
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量化数据分析：通过社会研究检验想法 附录12.B 最大似然估计法介绍
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最大似然估计法是本章和下面各章中获得模型参数估计值的几种方法之一。虽然其隐含的数学和计算步骤通常十分复杂，并且超出了本书的范围，但其原理是显而易见的。有关此问题的很好的介绍，见King（1989）、Eliason（1993）、Long（1997：25-33，52-61）以及Powers和Xie（2000，附录B）。
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假设我们观测某个变量的一个随机样本，它是从某一个由未知参数θ决定的总体分布f（x1，x2，…，xn|θ）中独立抽取的一些值x1，x2，…，xn构成的。那么，我们可能会想知道，在任一给定θ的条件下获得这个观测样本的概率是多大。这就是样本的似然值（likelihood）。我们所要做的是找到使样本似然值最大的θ值，那就是θ的最大似然估计值（maximum likelihood estimate）。更一般地讲，最大似然估计包括一系列使观测数据似然值最大的对未知参数估计值的寻找过程，产生的参数估计值被称为最大似然估计值。
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