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这里，yit是第i个人在时点t的结果变量的取值；μt是一个可以随时间变化的截距项；xit是一组既在个体之间变化，对每个个体而言又随时间变化的变量；zi是一组在个体之间变化但对每个个体而言不随时间变化的变量；αi代表个体之间未被测量的差异，即没有被γzi解释的差异，它在整个时期内的取值是固定的；εit代表既随时间变化又在个体间变化的异质性因素。
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为了简化讨论，假设T=2，当T＞2时结论相同。现在假设我们简单地将两个时点的观测数据合并在一起，并且用OLS估计结果。显然，当忽略变量与模型中的变量相关（例如，那个涉及讨价还价能力的例子）时，这样做会产生有偏估计，因为OLS的误差项（这里是αi+εit之和，因为αi是未被观测的）与预测变量无关的基本假设被违背了。
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基本的FE方程
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然而，假设我们分别写出每个时点的方程并用一个公式减去另一个公式。用公式
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yi2=μ2+βxi2+γzi+αi+εi2 （15.2）
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减去
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yi1=μ1+βxi1+γzi+αi+εi1
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得到
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yi2-yi1=（μ2-μ1）+β（xi2-xi1）+（εi2-εi1） （15.3）
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注意，不随时间变化的预测变量γzi和未观测变量的效应αi都被“减出”了方程15.3，这就是为什么这类方程被称为第一差分方程（first-differenced equations）的原因。也就是说，方程15.3已经排除了所有不随时间变化的未测量因素，以及任何不随时间变化的已测量的因素。因此，方程15.3解决了忽略变量偏误问题——假设没有效应随时间变化的未测量因素；这是一个经常被忽略的重要假设。如果满足以下两个条件，方程15.3可以用OLS估计：①至少存在一些xi，满足xi2≠xi1，且xi2和xi1并不完全相关（如年龄就不能作为备选变量）；②观测到的预测变量在两个时点都与异质性误差项εi1和εi2不相关；也就是说，观测到的预测变量是严格外生的（strictly exogenous）——这至关重要，即它们不依赖于在先前时点观测到的结果。
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允许X变量的斜率变化
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注意，在方程15.3中我们假设预测变量x的效应不随时间变化。这个假设可以通过估计允许x变量的斜率变化的第一差分方程进行检验。为了理解这一点，设想下面的一对方程：
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yi1=μ1+β1xi1+γzi+αi+εi1
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1702650337
和 （15.4）
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1702650339
yi2=μ2+β2xi2+γzi+αi+εi2
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这里，用方程15.4中的第二个方程减去第一个方程，得到：
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yi2-yi1=（μ2-μ1）+β2xi2-β1xi1+（εi2-εi1）=（μ2-μ1）+β2（xi2-xi1）+（β2-β1）xi1+（εi2-εi1） （15.5）
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也就是说，为了检验各个x变量的斜率随时间变化的假设，我们同时纳入时点1的变量和差分值（difference score）。那么，如果时点1变量的系数显著地不等于0，我们可以得出结论：两个时点的斜率不相等，并且可以从时点2变量的系数中减去差分值的系数得到时点1的斜率值。
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检验取值不随时间变化的变量效应是否随时间变化
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我们也可以允许取值不随时间变化的变量系数随时间变化。为了理解这一点，设想下面一对方程：
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yi1=μ1+βxi1+γ1zi+αi+εi1
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1702650353
和 （15.6）
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1702650355
yi2=μ2+βxi2+γ2zi+αi+εi2
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1702650357
用15.6中的第二个方程减去第一个方程，得到：
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1702650359
yi2-yi1=（μ2-μ1）+β（xi2-xi1）+（γ2-γ1）zi+（εi2-εi1） （15.7）
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