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这个规则可以被看作是概率分布的大数定律，一个将伯努利定律进行一般化的定律，它把事件在长期中发生的频率和概率联系起来。它可以表述为：如果某个事件服从特定的概率分布，例如男人的身高服从正态分布，那么只要有一个足够大的样本，新样本的加入就不会对平均值造成太大的影响。一旦你已经测量了世界上某个地区大量的男人的身高，再多量一个人的身高并不会使平均身高的数值发生很大变化。
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然而，大数定律并不适用于所有的概率分布。坎昆的醉汉符合这一规律。他东摇西摆最后走向的位置平均来说将是在开始行走的位置，因为他是随机游走的。就像在抛硬币游戏中，平均收益会趋向于零。但是假设另外一种情况：如果有一队喝醉的行刑队员，他们每个人都站立着，手里拿着来复枪，面对着墙。为了讨论方便，假设这堵墙是无限长的。就像醉汉走路一样，这队行刑队中的醉汉可能向任何一个方向蹒跚而行。当每个人站定准备射击的时候，他可能朝任何一个方向瞄准。子弹可能直接打中他面前的墙任何一个位置，也可能击中他右边100米处的墙。或者他可能完全偏离了目标射向了相反的方向，完全没有射到墙面。
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设想一个小组参加打靶比赛，射击数千次。如果你记录下每一颗子弹射中的位置（请注意：只记录中靶的子弹），你可以用这些信息创建一个分布，这个分布描绘了任何一颗子弹将会集中墙面的位置的概率。当你将这个分布和之前简单的分布比较时，你会发现它是全然不同的。这些醉醺醺的行刑队队员射出的子弹大部分都会击中墙面的中部。实际上，子弹射中墙面中部的次数要比正态分布所预测的会多很多。而且，子弹没有射中墙面的次数比正态分布预测的也多很多。
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这个分布叫作柯西分布（Cauchy distribution）。因为柯西分布的左侧和右侧不会像正态分布那样快速地趋向于零（因为子弹经常会射击到墙面上较远的部分），所以我们说它有一个“肥尾”（见图3-1）。
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试图穿过长长的走廊，回到宾馆的坎昆醉汉最后到达的地方服从正态分布，但并不是所有的随机过程都服从正态分布，喝醉的行刑队员射出的子弹最终打中的位置服从另一类分布，也就是柯西分布。需要注意的是，行刑队员射出的子弹飞行角度服从正态分布；而子弹打中墙面的位置服从的才是柯西分布！柯西分布（图中的实线部分）比正态分布（图中的虚线部分）在中值位置更瘦更高，但是它的尾部变小得更慢一些，也就意味着远离分布中心位置的事件发生的概率比正态分布所预测的要高。因此，柯西分布也被称为“肥尾”分布。曼德博把服从肥尾分布的现象称为“狂放随机事件”，因为它们存在更多的极端事件。
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图3-1 柯西分布
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柯西分布最主要的特征是它并不服从大数定律：喝醉的行刑队员射击出的子弹打中的位置永远不会趋向于一个固定的数字。如果行刑队射击1000次，你可以记录每颗子弹击中的位置，然后计算出一个平均值，就像你可以在玩投硬币游戏中计算出你的盈利的平均值一样。但是这个平均值是非常不稳定的。行刑队中的一名队员完全可能在下一次射击之前突然转身，以至于子弹的飞行方向几乎和墙面平行。它可能飞行几百公里（假设这是一些威力巨大的枪支），飞得足够远，实际上，如果当你将这个最新的结果加到之前的结果上，得到的平均值将和之前得到的平均值完全不同。由于这个分布存在肥尾，所以喝醉的行刑队员射出的子弹击中的位置从长期来看也是无法预测的。
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就像曼德博所描述的那样，尤其是在维希政府统治的刚开始的两年中，战争在一段较长的时期内并没有影响到法国的大部分地区。但是不久之后，战火蔓延开来，造成了严重的破坏，然后又是一段时间的平静。因此，曼德博被这些“突然的暴动”所吸引，被这些绝不是平淡的赌场游戏的随机过程所吸引。他把这些服从柯西分布的事件称为“狂放随机”（wildly random），目的是把它们和普通的温和的随机游走区别开来。曼德博投入了大量的精力来研究这些。当曼德博开始迈入职业生涯的时候，大多数统计学家认为这个世界充满了正态分布的事件，尽管柯西分布和其他“肥尾”分布偶尔也会出现，但是它们都是一些特例。曼德博却列举出了许许多多这样的特例，并且他列举出的特例的数量多于任何一个人。
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让我们再回头来讨论一下英国海岸线长度的问题。假设你想测量出一个海角或者任何一块陆地上凸起的长度。你必须先从可以测量的东西开始动手，比如岩石和防波堤。你将所有这些东西的长度取平均值。你还没有大功告成，因为你发现这些岩石和凸起本身也是半岛的一部分。因此你再次拿出测量工具，开始测量起这些半岛的长度。它们的数量不是很多，但是比你已经测量过的岩石和防波堤大得多，并且你现在得到了一个比第一轮测量所得出的结果大得多的新平均值。更有甚者，你还没有考虑到更大的结构，比如康沃尔郡。或者说，你没有考虑到整个英国的西海岸，因为从地理的角度来说，它就是欧亚大陆的凸起部分。同时当你看到这个的时候，也要考虑到一些细小一些的结构。为什么把几十厘米长的岩石计算进去了，却没有把几厘米长的岩石也计算进去呢？
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每一次你测量的范围越大，你获得的平均值的变化就越显著。你似乎无法把范围缩小到一个简单的数字。令那些在做无用功的勘测员感到沮丧的是，海岸线上的任何一样东西的平均长度都没有一个期望值。分形具有一个来自于它们的自相似性的一般性特征。一方面，它们排列得非常完美并且规则；另一方面，它们带有狂放的随机性。如果像曼德博认为的那样，分形无处不在，那么这个世界将被极端所支配，我们对平均值和常态的认识只会使我们迷失方向。
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） [:1703413491]
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非凡的几何直觉
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尽管曼德博从没有提到过任何细节，但他经常顺带提起1943年底那段特别悲惨的经历，当时他正和法国的反抗组织躲藏在一起。后来，反抗组织意识到曼德博不能再留在蒂勒了，于是他们将他弄到一个安全的地方，让他以一个预科学校研究生的身份留在里昂（Lyon）。
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转移曼德博是一个异常危险的举动。无论对犹太人还是反对派支持者来说，里昂无疑都是法国南部最危险的城市之一。曼德博恰巧同时属于这两种人。当时德军党卫军军官尼古拉斯·巴比（Nikolaus Barbie）在城市中央的一个旅馆里指挥着当地的盖世太保。他被称为“里昂屠夫”，后来在里昂法庭因战争罪行受到审判，罪行是迫害将近1000名在这个地区生活的犹太人。曼德博怎么看也不像是一个乡村短工，照顾他的反抗组织成员不得不找个不那么引人注目的地方安置他。于是找一所学校便成了一个折中的选择：曼德博正处于合适的年纪，并且爱将自己打扮得像个学者。他以一个伪造的身份去上学，并且住进了学校的宿舍。虽然已经做了充分的伪装，但曼德博还是不敢离开学校半步。他是一个学生，同时也是一个囚犯。
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为了掩人耳目，曼德博坐在教室里老老实实地上课，但是没有人认为他能学进去多少。这所学校的办学宗旨是培养最聪明的学生，使他们能够通过难度系数非常高的“大学校”的入学考试。学校里的气氛总是充满竞争而且快节奏的。曼德博从1942年春天开始一直到1944年初都没有再迈进过学校一步，因此入学之后他再一次远远地落在了同龄人的后面。面对这些聪慧过人、而且遥遥领先于他的同学们，曼德博似乎永远无法赶上他们的步伐。
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最初，事情的发展与预期基本一样。曼德博在教室里安安静静地坐着，假装是个安分守己的学生。其实，他什么也听不懂。就这样，时间一周又一周地过去了。每一次当老师给出一些抽象代数的题目，要求学生们比赛谁能用最快的速度解出答案的时候，曼德博都不声不响地听着。他对课堂上发生的一切依旧没有头绪，他能够猜出老师出的那些题目问的是什么，却完全不知道从何处下手去解答，更不用说讨论一道题有几种不同的解法了，那种要求简直搞得他一头雾水。然而，不久后一件值得纪念的事情发生了。有一天，当老师给全班出了一个题目的时候，曼德博的脑子里突然闪现出一个图形。他连想都没想就举起了手。老师惊讶地请他回答。“这个问题是不是相当于问这两个平面是不是相交的？”曼德博问道，他同时描述了他想到的那两个图形的样子。老师同意这个问题也可以这样表述，但是提醒曼德博他们的目标是快速解出这道题，而不是用几何方法来解释这些问题。
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曼德博坐回到他的位置上，被这通指责“噎”住了。但是当老师念出下一道题目的时候，他又忍不住想到了空间图形。他一下子就能想出这个问题所涉及的是哪种图形。很快，他发现自己可以胸有成竹地做到这些。事实证明，曼德博拥有一个“特异功能”，能把抽象的代数问题视觉化。但是老师提醒他，仅仅靠用几何的方法来解释问题对他的考试毫无帮助。于是，曼德博开始思考如何将他的这个特异功能付诸实践。他不能仅仅凭借几何直觉来解决问题，至少这不是老师要求的方法。但是他可以迅速猜出答案是什么，并且他总是能够猜对。不久之后，虽然曼德博的应试准备并不充分，而且有着不同寻常的身份，但他还是融入了这所学校。
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1944年夏天，戴高乐宣布法国解放。8月底，芒德勃罗家族举家搬回了巴黎。尽管曼德博在里昂只待了6个月，也就是一个学期，但是这段经历却改变了他的人生道路。在这段时间里，他学习了大量的知识，发现了自己的几何天赋，更重要的是，他重新拾起了学业。他决定继续准备“大学校”的入学考试，并且在1944年进入巴黎一所最权威的预科学校。在取得优异的考试成绩之后，他收到了好几所“大学校”的入学通知书，其中包括最有竞争力的巴黎高等师范学院。
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曼德博选择进入巴黎高等师范学院，但仅仅两天之后，因为发现自己无法忍受象牙塔中的生活而放弃了。离开学校的这段时间，让他更关注现实生活中的问题。曼德博马上就转到了更加注重应用性和科学性的巴黎综合理工学院。这个选择预示着曼德博之后的学术道路：每一次，当必须在纯学术和实用主义之间二者选一的时候，曼德博总会选择后者。这样一来，曼德博将他的几何“特异功能”用到了以前被忽视的实用性问题以及那些似乎难以破解的问题上。就像巴施里耶一样，曼德博以他过人的数学天赋提出了许多前人尚未发现的问题，同时，他找到的答案足以改变科学家们看待世界的角度。
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棉花市场，莱维稳定分布的证据
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多年之后，曼德博将他事业上的巨大成功归功于两件事。第一件就是不同寻常、时断时续的学业。曼德博最后读完了“大学校”，然后又取得了博士学位，但是这并不是一段轻松自在的旅途。而正是因为他没有走一条循规蹈矩的路，他才被历练成了一个更加睿智和独立的人。第二件就是一连串不经意的发现。这些发现引领着他拨开重重迷雾，逐渐看到了一个又一个智力谜团。齐夫的公式就是其中一个，这还是当他的叔叔将那篇文献综述扔到他脸上的时候发现的。另一个出现在几年之后，就是在他刚刚完成研究生学业不久的时候。
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那时，曼德博在IBM工作，IBM也是一家深深受益于物理科学工业化的企业。尽管曼德博常常表露出对自己在没有导师的情况下顺利完成学业的自豪感，但这件事在找工作的时候并没有对他带来任何帮助。他在普林斯顿高等研究院度过了一段清贫的博士后生活，然后他又回到欧洲，在法国政府的热力学研究中心工作了一段时间。但是由于得到一个全职正式员工的职位看起来是一件八字没一撇的事儿，曼德博对于在数学界施展拳脚的幻灭感开始与日俱增。1958年，曼德博终于收到IBM的邀请信，IBM向他提供了一个研究部门科技人员的职位。他当即蹦了起来，虽然用他自己的话来说，“那时候收到一份IBM的工作邀请并不是什么了不起的事儿”。
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IBM研究中心的工作目标之一就是为它最新的电脑拓展出一些应用领域。曼德博的工作是处理经济学方面的数据。他的老板希望他能够展示电脑在经济学领域的实用性，以便让银行和大型投资公司心甘情愿地为IBM的大型机埋单。具体来说，曼德博处理的是能描述整个社会收入分布的数据。银行并不一定会对这个特定的问题特别感兴趣；相反，这项工作的目的是将曼德博的研究作为一种概念性的证据，以证明计算机在处理需要大量数学运算的金融数据时是多么的高效。
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