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无论是索普还是布莱克的期权模型都是建立在奥斯本的随机游走假说之上的，奥斯本假设收益率遵循正态分布。到现在为止，你可能要停下来想一想了。毕竟，在整个20世纪60年代，曼德博都在论证正态分布和对数正态分布都没有有效地将极端事件考虑进去，因为实际上，市场具有狂放的随机性。尽管曼德博认为收益率是遵循莱维稳定分布的，并且今天的大多数经济学家都认为事实确实如此，认为市场数据表现出肥尾特征的理论仍然是成立的。期权模型对股票的定价是根据一只股票可能会上涨或者下跌至某个临界值之外的概率来计算的，这个临界值也就是期权的执行价格。如果极端的市场变化比奥斯本模型预测的更容易发生，那么，无论是索普的模型还是布莱克-斯科尔斯模型都无法给出正确的期权价格。特别是，这两个模型可能会低估只有在市场情况发生剧烈变化时才会被执行的期权，也就是所谓的低价虚值期权（far-out-of-the money option）。一个和实际情况更加接近的模型应该将肥尾考虑进去。
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曼德博在20世纪60年代末期离开了金融界，但在20世纪90年代初，他又重新回到了这个领域。他选择回归的一个重要原因是许多金融从业者开始意识到布莱克–斯科尔斯模型存在缺陷。触发这个变化的导火索是1987年股票市场崩盘的黑色星期一，一夜之间，全球金融市场的账面价值缩水超过20%。
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崩盘发生后，矛头纷纷指向了一种名为“投资组合保险”（portfolio insurance）的新型投资产品，它是根据期权和布莱克-斯科尔斯模型开发出来的。投资组合保险的设计目的和推广卖点就在于它可以减少发生重大损失的风险。这种套期保值策略相当于在买进股票的同时卖出股指期货。这种策略蕴含的基本原理就是：如果股票开始下跌，那么市场上的期货价格也会下跌，因此你手中的空头头寸的价格将会上涨，从而抵消股票价格下跌带来的损失。这种策略是经过精心计算的，因此你不能卖空太多的期货，否则一旦股票的价格上涨，它会毫不客气地蚕食你的收益。相反，假如市场价格下降，你可以编写一个计算机程序来逐渐出空手中的股票，这样一来，你可以卖空足够多的市场期货来弥补价格下降造成的损失。
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然而，当1987年股票市场暴跌的时候，每一个持有投资组合保险的投资者都打算在此时此刻卖掉手中的股票。这样一来，问题就出现了，因为在市场上根本就找不到买方，大家都在抛售！这意味着电脑执行的交易最后以远低于投资组合保险设计者所预期的价格被卖出，因此，这个经过仔细计算得出的期货市场空头头寸对投资者起到的保护作用几乎微乎其微。其实，持有投资组合保险的投资者的投资表现应该优于没有持有这种投资产品的投资者。但是，许多人认为和这些投资组合相关的卖单进一步加剧了抛售压力，因此，所有人都蒙受巨大损失，因为投资组合保险实在是太盛行了。作为投资组合保险计算依据的布莱克–斯科尔斯模型并没有预测到发生崩盘的可能性，因为随机游走模型表明，一个这样严重的单日下跌在100年也不会发生一次。
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股市崩盘还引发了其他的几个事件。其中之一就是许多金融从业者开始对随机游走模型的统计结果提出质疑。这点很容易理解，如果你的模型预测某件事是不可能发生的，或者几乎是不可能发生的，然而它却千真万确地发生了，你一定会对此产生各种疑问。但同时发生的还远不止这件事情。当崩盘初露端倪时，市场似乎就已经开始变化了。尽管在崩盘发生之前的数年中，布莱克-斯科尔斯模型在几乎所有的市场和情景中都能给出正确的期权价格，然而，在崩盘之后，真实价格与模型预测价格之间的差异就开始出现了。这种差异通常被称为波动率微笑（volatility smile），因为它在特定的图像中显现出与众不同的形状。20世纪90年代初期，当这种微笑曲线的普遍存在性被首次发现的时候，它以迅雷不及掩耳之势出现在金融工程师们的视野中，并且成为了一个重大谜题。值得一提的是，德曼发现了一种对布莱克–斯科尔斯模型进行修正的途径，他将波动率微笑包含了进去，尽管他始终没有找到为什么布莱克-斯科尔斯模型突然失效的理论性原因。
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然而，曼德博的研究却为波动率微笑现象提供了一个有说服力的解释。波动率微笑存在的原因是，市场大幅度的价格变化发生的可能性远远超过布莱克–斯科尔斯模型的假设所设定的概率。这就是曼德博一直强调的：描述市场收益率的概率曲线存在肥尾现象，这也就意味着极端事件发生的概率大于正态分布模型得出的预测结果。换句话说，市场的力量已经让价格的行为更加符合曼德博的理论。从20世纪80年代后期开始，投资银行家们开始以更加严肃认真的眼光看待曼德博的研究成果。
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在布莱克-斯科尔斯模型的兴衰史中，还有一个非常有趣的但很少被提及的小故事。第一个开发出金融衍生品量化交易策略的是一家十分神秘的芝加哥公司，叫作奥康纳联合公司（O’Conner and Associate）。奥康纳联合公司成立于1977年，创始人是艾德·奥康纳（Ed O’Conner）和比尔·奥康纳（Bill O’Conner）兄弟，以及迈克尔·格林鲍姆（Michael Greenbaum）。奥康纳兄弟是以做谷物生意起家的。格林鲍姆曾经在两兄弟开办的第一期权公司（First Options）担任风险经理一职。格林鲍姆在加入第一期权公司前，曾在伦斯勒理工学院主修数学专业，因此他具备学习各类数学方程的背景。他是最早发现芝加哥的新式期权交易所隐藏着大赚一票的机会的人之一，想要抓住这些机会，你至少要在数学方面有纯熟的技能。格林鲍姆带着成立一家公司来专门从事期权交易的想法投奔了奥康纳兄弟。
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考虑到他们选择成立公司的时机，很多人都会认为奥康纳联合公司仅仅是一家较早采用布莱克-斯科尔斯模型的公司，而事实并非如此。格林鲍姆从一开始就意识到布莱克-斯科尔斯模型的假设并不完美，它完全忽略了市场暴跌的可能性。因此，格林鲍姆组建了一个由风险管理经理和数学家组成的小组来研究如何进一步完善布莱克-斯科尔斯模型。年仅18岁的天才少年克莱·斯特鲁夫（Clay Struve）是奥康纳联合公司最早的雇员之一，他曾经在第一期权公司找了一份为格林鲍姆效力的夏季学期的兼职工作。他在麻省理工学院读本科的时候，还为布莱克干过活儿。1977—1978年期间，格林鲍姆和斯特鲁夫以及一个人数很少的早期宽客小组研究出了一个修正的布莱克-斯科尔斯模型，它将一些会导致肥尾现象发生的事件包含到模型中，例如价格的突发性大幅度上涨。
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奥康纳联合公司取得了举世瞩目的成功，一开始体现在期权交易上，然后又体现在其他金融衍生品的交易中。这一部分可以归功于修正的布莱克-斯科尔斯模型，它比标准模型具有更好的表现。特别引人注目的是，根据斯特鲁夫等人的研究，奥康纳联合公司在很早以前就注意到了波动率微笑。也就是说，甚至在1987年股市崩盘之前，布莱克–斯科尔斯模型得出的价格就和市场价格之间存在细微的差别。后来，当1987年股市崩盘真的发生时，奥康纳联合公司逃过一劫。
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还有另外一个事件，是对市场变革的深层次关注，它是由布莱克和他的追随者们发起的。1987年，许多人对此十分担忧，而这种关注在近期发生的危机前夕再一次销声匿迹。让我们回顾一下2008年的市场崩盘，在市场暴跌的时候，甚至是最精明的投资者，例如首先创造出担保债券的银行家们，也错误地估计了这些产品存在的风险。换句话说，这些产品设计者原本用来构建无风险金融产品的模型彻头彻尾地失败了。这些模型在其他的市场灾难中也同样遭遇失败，最发人深省的应该是长期资本管理公司（Long-term Capital Management, LTCM）的轰然倒塌。这是一家小型的私人投资公司，拥有一支包括斯科尔斯在内的策略小组。从1994年一直到1998年夏天的早些时候，长期资本管理公司所管理的资金一直都保持着辉煌的业绩，直到1998年8月，俄罗斯宣布国家债务违约。在接下来不到4个月的时间里，长期资本管理公司损失了46亿美元。到9月的时候，它的资产已经全部消失。这家公司曾重仓买入衍生品，它持有几乎全球所有大银行的债务，总价值高达一万亿美元。到9月22日收盘时，它的市场头寸价仅为5亿美元左右。这和它们在几个月前的价值相比，已经严重缩水，并且少到了无力偿还公司债务的地步。这可能就会带来高达几千亿美元的债务违约，并且迅速引发国际恐慌。在这种情况下，政府不得不出手相救，以化解这场危机。
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确切地说，动态套期保值策略中所使用的数学模型是不完美的，同时，更宽泛地来讲，金融衍生品交易的数学模型也存在瑕疵。巴施里耶、奥斯本以及曼德博在他们的学术生涯中都花了相当长的一段时间试图搞清楚为什么会这样。他们的模型以及后来在他们的基础之上建立的模型，都是从极其现实的角度，用严谨的推理得出来的，似乎不应该出现错误。但是，即使是最好的数学模型，也可能被错误地运用，通常这种错误都很微小，并且不易觉察。为了使复杂的金融市场能够用模型来模拟，巴施里耶、奥斯本、索普、布莱克以及曼德博都运用了理想化的方法，主观地假设市场是如何运行的。特别是如奥斯本所强调的那样，只有当假设成立的时候，这些模型才能得出令人满意的结果。而在现实中，有时候市场突然发生了变化，那些最棒的假设顷刻之间就会变得糟糕透顶。
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正是由于这个原因，奥康纳联合公司的故事给我们留下了一个重要的启示。许多历史学家认为1987年的股票市场崩盘给金融市场一记重创，是因为它完全出乎意料之外。根据主流的市场模型，这是不可能被预测到的。波动率微笑的意外出现被当作证据来说明模型的有效性只能维持一段时间，然后，它就会一下子不管用了。进而，它损害了所有基于市场模型进行交易的公司的可靠形象。倘若今天还用得好好的模型，明天一觉醒来就可能毫无征兆地失效了，那么，从今以后大家还能相信华尔街的物理学家吗？但事实上并非如此。通过仔细检查最简单的模型，然后将它们复杂化到合适的程度，从根本上说，就是把肥尾现象考虑进去，奥康纳联合公司就预测到了布莱克-斯科尔斯模型失效时的情况，从而事先采取预防策略，在1987年市场崩盘的事件中逃过一劫。
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故事讲到这里，从巴施里耶到布莱克，我用了很大的篇幅来讲述金融建模是一个不断演进的过程。在这个过程中，潮流不断更迭，数学家、统计学家、经济学家以及非常之多的物理学家都试图找出最好的模型存在的不足之处，从而找到改进的方法。从这个角度来说，金融建模和工程学与数学建模从更加广泛的层面上来讲是类似的。模型失效了，有时，当它们快要失效的时候，我们是可以预见到的，就像格林鲍姆和斯特鲁夫所做的那样；在其他的时候，只有当我们努力将拆散的拼图重新拼回去时，才能找出到底是哪里出错了。这个简单的事实应该给我们警醒，无论我们是在开发和利用新的建模技术，还是继续使用比较陈旧的建模技术，都应当谨小慎微。另外，如果说在过去的300年中，我们确实学到了一些东西，那么，应该说其中最重要的就是关于科研过程的基本方法论原理。如果因为它们并非总是完美无缺而抛弃它们，这种做法是非常愚蠢的。
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更重要的是，由于金融领域中的数学建模是一个不断改进的过程，我们应该有充分的信心，相信我们会逐步找到新的方法来解决今天我们所面临的问题。这个不断改进的过程中包括修正布莱克—斯科尔斯模型，也包括将曼德博观察到的极端事件考虑到实际金融市场中。但这仅仅是个开头。在这本书的最后一部分中，我将向读者呈现当物理学家们把更新颖、更成熟的观点引入金融和经济学中，发现现有模型中存在的问题，并寻找解决之道的时候，这些模型是如何在扩展主流金融学的外延上做出贡献的。布莱克在塑造面貌一新的华尔街的运动中具有指导性意义，但是，他的观点仅仅是一个金融新纪元时代的开端。
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对冲之王：华尔街量化投资传奇（经典版） 06从精灵公司到预测公司
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如何运用正确的统计测量方式来确定真实的预测模型，如何检测反映市场行为模式的数据，以及最终如何找到模型在什么时候无法发挥预测的功能，是法默和帕卡德思考的问题。法默和帕卡德对肥尾分布和狂放随机分布的统计特征感到得心应手，而这两种分布特征正好是物理学中的复杂系统和金融市场的复杂系统的重要特征。
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当 圣菲贸易通道于1822年开通时，它从美国最西岸的边境城市、密苏里州的独立城（Independence）通过北美印第安人的科曼奇族的领土，然后进入新墨西哥州的首府圣菲城（Sante Fe）。从那个地方开始，它穿过我们今天所熟知的东科罗拉多高原，然后从格洛列塔大通道（Glorieta Pass）穿过桑格雷德克里斯托山（Sangre de Cristo Mountains，它属于落基山脉最南端的一部分）。在圣菲城的西北部是贸易通道的起始点，也是圣菲城首领的宅邸所在地。首领的宅邸是里奥格兰德（Rio Grande）以北的墨西哥人的权力象征。在宅邸的前方，就是这个城市的市集广场，来自美国的交易商们就在这个地方展示他们所带来的商品。在美国开拓者们来到这个城市20年之后，美国军队也来到了这里。经过格洛列塔大通道战役，他们宣布圣菲城以及周边区域都成为新吞并的得克萨斯州的附属领地。
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一个半世纪之后，两个30多岁的男人坐在圣菲贸易通道尽头的酒吧里，惬意地喝着龙舌兰酒。这条通道现如今已经被一条洲际公路所替换。这两个男人周围聚集着一些年轻人，热情地与他们俩交谈着。酒吧外面，在繁华的市集广场上，经过夏日雨水洗涤过的公园显得格外郁郁苍苍。穿过这条公路，依然坐落着地方长官的宅邸，这是北美地区一直被沿用的、时代最久远的公共建筑。市集广场被一些低矮的建筑物所围绕，这些建筑物都是红褐色的，具有典型的普韦布洛风格。与1846年美国军队到达时的样子相比，它们基本上没有变化。酒吧里的这些人是新来的商人，他们都希望在圣菲城那具有历史意义的市场里挂上自己的标志。
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从广场出发，沿着这条路往下走，在格里芬大街（Griffin Street）上一间只有一层楼的土坯房屋里，一台最先进的电脑嗡嗡作响，它正在按照酒吧里面那两个男人输入的指令运行。这两个人每次在输入这些指令之后，晚上就会去酒吧喝上几杯。这一年是1991年，这两个人所做的事情正是“预测”。
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这两个男人分别是詹姆斯·多恩·法默（James Doyne Farmer）和诺曼·帕卡德（Norman Packard）。他们是非线性动力学和混沌学这个新领域的先驱，因为他们花了15年的时间帮助创建了这一新领域。不久以前，法默一直担任洛斯阿拉莫斯国家实验室复杂系统小组的负责人，洛斯阿拉莫斯国家实验室因为是第二次世界大战期间曼哈顿计划的总部而闻名于世。帕卡德则刚刚离开伊利诺伊大学物理系的副教授终身教职席位。酒吧里围绕在他们俩周围的其他人，要么是之前毕业的研究生，要么是最近入学的博士生，他们都希望能够追随法默和帕卡德的步伐，在他俩新开拓的研究领域继续前行。
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为了在新开辟的领域里面获得更大的成就，法默和帕卡德决定成立一家新公司。很快，这家公司就被称为预测公司。尽管在那天晚上，他们在圣菲城的市集广场聊天的时候，公司并没有起名。他们的目标就是做那些看上去似乎不可能实现的事情：预测金融市场的走势和行为。如果谁能够做这样的事情，谁就属于这个集体。在他们中间，法默和帕卡德在非线性预测领域合起来已经有30多年的研究经历，这一领域属于物理学和应用数学（同样也包括新增加的其他领域），其目标是为了在非常明显的随机现象中寻找确定的可预测的模式或特征。用帕卡德的话来讲，这包括在“混沌的边缘”寻找规律和秩序。在混沌过程中，从非常小的时间窗口里找到足够的信息，从而可以预测系统将会往哪个方向发展。他们所运用的研究工具，已经发展到可以用来预测如在狭小的管道中的湍流将会如何运行这样的事情。不过，法默和帕卡德以及跟随他们到圣菲城的6个助手都觉得，他们可以做得更好，预测到更多的东西。
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探险部落
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