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无穷期望值对于任何在现实生活中想要用数学方法制定决策的人来说都是一个大问题。因为这个值暗示你为了能够获得玩这个游戏的权利，付多少钱都值得。如果赌场规定需要支付100万美元手续费才能玩这个游戏，那么由此看来，理性的消费者都应该会抓住机会。如果赌场收取1万亿美元手续费，情况也是如此。
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你或许更愿意把这种赌博看作是成长股的首次公开募股。人们在估算一家新公司的前景时一定会总结出多种呈现不同概率和收益率的情况。他们总会在心里计算出某个合理价格下获得的收益，然后据此购买股票。伯努利所举的例子说明在某些情况下，传统的推理能够让你找到值得购买的股票，无论价格多高。
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尼古拉和丹尼尔·伯努利都知道这很荒谬。丹尼尔写道：
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尽管标准的计算显示保罗的期望值是无穷大，但不得不承认的是，任何一个足够理智的人都会非常乐意用20达克特就把这样的机会卖掉。尽管没人愿意以高价购买，但公认的计算方法确实计算出保罗的期望值为无穷数。
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丹尼尔用拉丁文发表了上述言论。这种赌博被称为“圣彼得堡游戏”或者“圣彼得堡悖论”。从此，人们便对其产生了些许兴趣。约翰·梅纳德·凯恩斯在1921年出版的《概率论》（Treatise on Probability）一书中对这一悖论有所提及，使其成为20世纪几乎所有经济学家智力架构的组成部分。伯努利的赌博游戏也出现在了冯·诺依曼和摩根斯特恩所写的《博弈论与经济行为》一书中，在肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）、米尔顿·佛里德曼（Milton Friedman）和保罗·萨缪尔森等人的论文中也都出现过。
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解决这一悖论简直轻而易举。因为彼得根本无法获得无穷财富来兑现游戏的潜在支出。没人可以拥有无穷财富。因此，无穷级数的大多数条件是无法满足的。获得10000004美元奖金的概率是极其微小的，根本不值得你去计算。而且根本没有实际意义，因为没人能够拥有这么多钱兑现给别人。
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假设一家赌场为顾客提供了玩这个游戏的机会并设定最大盈利为10亿美元，那么这场游戏价值几何呢？少得多！假设奖金起始数额为1美元，那么正常来看，第31次抛掷结果为人头朝上的奖金是1073741824美元。对于赌场来说，最合理的做法就是将游戏限定在30次抛掷内，然后将这10亿美元奖励给30次抛掷结果皆为反面朝上的人。那么这个删减版的游戏期望值仅为15.93美元。
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这要合理得多。游戏本身的价值并没有达到无穷大，而只是几美元而已。这种解惑方式正是冷静的现实主义者寻求的答案。但是哲学家和数学家们，甚至经济学家们，很少能够接受这样一种解决方式。他们大多数人都认为我们可以假装彼得拥有无穷财富，那么如果我们说保罗为了玩这个游戏愿意付出任何代价岂不仍然很可笑吗？
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丹尼尔·伯努利的看法正是如此。他提出了一个不同的解决方式，对未来的经济学思想产生了深远影响。伯努利将金钱和人们赋予金钱的价值加以区分。对于一个亿万富翁来说，1000美元只是零钱而已。对于一个饥饿的乞丐，1000美元可是一大笔财富。经济获益（或者损失）的价值取决于受其影响的人的财富。
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你或许会告诉自己说你已经了解了这一点。那么好吧，伯努利的真正贡献就是创造了一个新词。这个词被翻译成英语“utility”（效用），描述的是人们赋予金钱的主观价值。伯努利认为人们根据本能采取行动以最大限度获得效用——不一定是最多钱（美元或是达克特）。伯努利指出：“物品的价值绝不能建立在其价格基础上，而必须建立在其产生的效用基础上。物品的价格只取决于物品本身，而且对任何人来说都一样；然而，效用取决于做出评估的人所处的特定环境。”
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1美元的价值对于富人来说比穷人低多少呢？诚恳的答案是“不一定”。对此伯努利举了一个例子，据他描述，如果一个被囚禁的富人还差2000达克特才能获得自由，那么这个富人赋予这2000达克特的价值比没有如此迫切需求的穷人赋予的价值要高得多。
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这就是一种人为的困境。大多数时候，一个富人赋予2000达克特收益的价值比穷人要低。伯努利提出了一个概测法。他写道：“在不存在特例的情况下，任何微小的财富增长所产生的效用都将与此前拥有的物品数量成反比。”
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换句话说就是，如果你的朋友拥有的财富是你的2倍，那么在赢了100美元赌注后他高兴的程度将只是你赢得相同赌注时高兴程度的一半。当然，付账时的难过程度也是你的一半。
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可以绘制效用与财富的对比图（见图4-1）。如果人们赋予金钱的价值与他们的财富值成正比，那么图中将会出现一条直线。而根据伯努利提出的概测法，这条线是一条曲线。这就反映出一个事实，即一大笔金钱收益才会对富人造成一定的影响，而要产生相同的影响力，穷人只需要一小笔即可。曲线的形状（以及伯努利提出的金钱收益与既有财富成反比的法则）描述的是一个对数函数。伯努利的概测法因此被称作“对数效用”。
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伯努利用效用来解决圣彼得堡悖论的问题。假设保罗赋予收益的价值与其财富成反比，那就是说保罗赋予2达克特收益的价值并不是1达克特收益价值的2倍。你赚到第二个1达克特，就像你赚到第二个100万一样，感受绝对和第一次不一样。
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这就意味着无穷级数的条件要向下调整来解释获得巨大收益时收益价值递减的情况。尽管数列仍是无穷的，但却变成了一个规范化的、合并的无穷数列。你可以计算1/2+1/4+1/8+1/16……的结果，尽管数列无穷尽，总和却永远无法达到1。当伯努利的期望值数列也进行如此调整后，最终也会合并成为一个有限的、适当的总和。
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图4-1 对数效用
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接下来的几个世纪里，经济学思想家们都醉心于对数效用。英国经济学家威廉·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons，1835—1882）认为对数效用适用于消费品和财富——“随着人们生活必需品（比方说普通食品数量）的增加，最后使用的部分所产生的效用或者利益会随之降低。”你或许会说这就解释了为什么让你吃到饱的自助餐厅依然存在。1954年，伦纳德·萨维奇将对数曲线称为“每个人的对数函数原型”——这是个近似值，合理解释了大多数人在大多数时间里对他们所遇到的金钱数额所赋予的价值。
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并不是每个人都认同他的看法。萨维奇时代，对数效用已经呈现出过时的事态。这一概念遭受的打击之一就是人们意识到对数效用并不能彻底解决圣彼得堡悖论。20世纪30年代，维也纳数学家卡尔·门格尔（Karl Menger）指出只要对圣彼得堡悖论加以修正，就可以轻松解决伯努利的解决方式没有解决的问题。你只需要提高奖金的吸引力即可。将奖金提高为2、4、16、256达克特……而不是此前连续抛掷所获得的1、2、4、8达克特。通过这样的安排，你可以让奖金快速增长从而使预期效用仍为无穷数。
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门格尔举了一个最可怕的反例，奖金数额不是以美元或者达克特为单位来表示的，而是用效用值（utile）表示。效用值是假定的效用单位。游戏中你赢得的是1、2、4、8效用值，具体数额取决于抛掷的次数。游戏的价值，现在也用预期效用来表示，是无穷的。一个理智的人恐怕会付出一切代价来玩这个游戏——这一点仍然是非常荒谬的，因为他赢得的效用值很可能会非常低。
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对此我们该做些什么呢？或许我们能做的不多。保罗·萨缪尔森认为增加了筹码的圣彼得堡悖论并没有“给经济学家带来恐慌”。这个问题的要点在于伯努利的效用函数在对待财富极限的问题上从心理上讲是不现实的。
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为了找到更好的解决方式，“幸福水平”的概念应运而生。这是为效用设定一个假定的极限值。计算一下你需要多少钱才能满足所有的物质欲望或需求。这个金额总值以及相应的效用，就是“幸福水平”值。
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效用上限所起的作用和赌场能够偿付的金额上限类似。它将无穷级数缩短为合理的有限值。
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