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从100美元资金处向下引出两条对角线，代表第一次抛掷可能出现的两种结果。要么你输掉这40美元（还剩60美元），要么你赢了，获得6倍赌金（加上没动的60美元，你一共获得300美元）。
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第二次抛掷时，你必须调整赌金，保持下注金额为现在资金总额的40%。第一次抛掷产生的两种不同的结果还会导致两种不同的情况。请注意一下路径的发散和收缩。第二次抛掷后要获得180美元有两条不同的路径。
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不断扩大的概率网络就像对量子论的解释一样，每个随机事件都会将世界分解成两个平行的宇宙。第四次抛掷时，共有16个不同的平行宇宙，对应人头朝上和背面朝上两种情况可能产生的每种结果。图4-4以弹球机的形式对此加以说明。每个球代表了从上到下16条可能的之字形路线的一种。
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底部的球槽代表4次抛掷后的最终财富。最右边的球代表最幸运的情况，即4次皆胜的情况。这种情况下，你的最终财富会达到8100美元。
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这是非常幸运的情况。通常来讲，人头朝上和背面朝上的结果都可能会出现。虚线构成的之字形路线代表的是出现的结果依次为背面、人头、背面、背面的情况。这个球会和其他3个球一起掉进一个槽中，因为产生这一结果共有4条不同的路线，最后价值为64.80美元。
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结果出现3次人头和1次背面的情况也有4个平行宇宙，创造的财富值为1620美元。
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结果为2次人头和2次背面的情况一共有6条路线。这是“运气平平”的情况，也是最常见的结果。4次赌博后，100美元初始赌金变成了324美元。
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最糟糕的结果就是4次皆输，最终资金总额只剩下12.96美元。
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大多数人对上述这些结果都感到有些不安。最佳情况和最糟情况之间的差别如此巨大。在这16种结果中，有5种情况会让你的最终财富少于初始资金，而且是在4次如此有利的赌博情况下。
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16种结果中，有1种结果是你的最终资金远远少于初始资金，所以凯利对避免破产的保证从某种程度上讲是空洞的。好吧，至少你没有输掉所有钱。你仍然有1/16的机会在4次不幸的赌博后输掉87%的资金。
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凯利系统导致的财富分布（不同情况下或者平行宇宙中）就像曼哈顿的财富分布一样，存在贫富两极分化的情况，中产阶级比你想象的少得多。
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或许是时候回顾一下精灵的承诺了。在16种可能出现的结果中，几何平均收益为324美元。没有任何一种资金管理系统的几何平均收益值能够超过凯利系统。
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这很好。凯利准则的另一个优点就是将财富中值最大化。中值是统计学测量值，对一系列数值进行排序，从低到高，选出最中间的那个数值即为中值。中值很受房产中介追捧，而且在曼哈顿这种地方是不可或缺的，因为物价差异太大。
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在这里，财富中值也是324美元，这比其他任何系统所达到的中值都要高。
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凯利系统无法做到的就是掌控运气。在运用凯利系统时，如果运气不佳，会导致最终财富值低于中值。如果发生这种情况，那么你可能会比运用其他系统获得的结果更糟。
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希腊语的第五个字母“ε”代表一个任意小的量（非数学界人士或许会称其为一个“iota”）。萨缪尔森在一篇文章的结尾评论道：“格特鲁德·斯泰因从未说过这句话：ε不等于‘0’。”换言之，凯利的信奉者错误地以为微小的（ε）破产风险值可以被当作零风险一样忽略不计。如果使用优质的降落伞从飞机上跳下来，几乎可以确定你能安全着陆。那么，为什么不是所有人都玩这种刺激的跳伞运动呢？答案是，人们对风险的承受力不同。出现大灾难的概率很微小，但结果可能是非常突出的，而不是0。胆小鬼爱丽丝可能会理性地拒绝跳伞，即使她知道出现偏差的可能性“几乎为零”。
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谬论的错误之处正在于这种可能导致灾难的微小概率。有很多更温和的资金管理模式可以比凯利准则更好地处理运气不佳的情况。当然，它们的平均复合收益也会较低。
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为了保持图尺寸的合理性，我只绘制了4次赌博的结果。那么，长期来看情况会更好吗？
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是，也不是。产出结果的中值随着时间呈指数增加，这是好的方面。因为很多资金管理系统在最幸运情况除外的其他情况下都导致了破产。也有其他一些系统避免了破产，但获得的收益远远低于凯利系统。凯利系统对其他任何竞争系统的优势随着时间变得越来越明显。
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从另一个层面来看，长远的效果并没有更好。随着时间推进，不同情况下贫富两极分化越来越严重。富人变得更富，而穷人变得更穷。
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赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 自由的国度
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就像一场酝酿很久的家庭争端一样，凯利准则引发的争论常常转变成争论双方互相猜测对方是否在含沙射影地批判自己。尼尔斯·哈克森1971年发表的文章《资本增值与投资组合选择的均值方差法》在效用理论和均值方差分析的框架内将凯利和拉塔内的理论进行了重塑。他的观点实际上和所有经济学家的观点一致。
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该文章中有一个数学错误。默顿和萨缪尔森在回应的文章中如实对这个错误进行了抨击。麻省理工的这两位作者总结道：“再次证明几何平均数策略是荒谬的。”
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