1703444560
图4-5 凯利准则映射
1703444561
1703444562
假设凯利赌博者能够在合理范围内尽可能多下注（可行的情况下可以利用杠杆），但不允许同时进行多样化押注，然后任何概率游戏或投资的财富路径都将看起来和这个图标非常接近。我指的并不是确切的波峰和波谷结构——当然，这些取决于随机事件——而是与整体呈指数上升趋势相关的这些波动的范围。这幅图可能会让你想起股票市场的图表。实际上，凯利赌徒的资金比道琼斯或者标准普尔指数的历史波动更大。
1703444563
1703444564
锯齿状的山峰也可能代表了人们心碎的景观。假设你发现自己处在图4-5中间靠右侧的顶峰，或许表示你收获了第一个100万美元。在这种特殊的情况之后，你可能会失去大部分收益。
1703444565
1703444566
凯利赌博的资金波动遵循一个简单的法则。在根据凯利准则进行无限次连续下注后，你的资金跌至初始金额一半的概率为1/2。
1703444567
1703444568
这对于连续下注的理想化赌博活动是非常正确的。对于更加常见的离散型下注的情况（21点、赛马等）也近乎正确。类似的法则适用于任何比例，即1/n。资金跌至初始资金1/3的概率为1/3，跌至总资金1%的概率为1%。
1703444569
1703444570
好消息是资金跌为0的概率为0。因为你永远不会破产，所以你总能够收复失地。
1703444571
1703444572
坏消息是无论你变得多富有，都存在财富严重下跌的风险。1/n的法则适用于赌博的任何阶段。如果你将资金总额运行到100万美元，就好比你的起始资金为100万美元，那么在未来某个时间点损失50万美元的概率为50%。这种损失是所谓的暂时性的。无论你从哪方面考虑，凯利赌博者或投资者在大量时间里的财富值都是低于从前的。
1703444573
1703444574
1703444575
1703444576
1703444577
赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 [:1703441614]
1703444578
赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式 破烂推销
1703444579
1703444580
试着在谷歌中输入“KELLY FORMULA”（凯利公式）或者“Kelly Criterion”（凯利准则），你会发现网络热搜榜中快速致富计划仅次于“性”的排行。网络上已经开辟了自己的争论战场，很多作者并不知道经济学家和信息理论学家们的观点。
1703444581
1703444582
某个叫约翰·梅（John May）的人声称“所有认真的赌徒都在运用类似凯利准则的某种法则”，在他的网站上，他被描述为“世界上最可怕的赌徒之一”。一家英国足球赌博网站上提到这个系统的发明者时说他是“来自美国的一个叫约翰L.凯利的人（很显然在为AT&T公司的贝尔实验室工作），很显然不是个傻瓜”。
1703444583
1703444584
然而，赌博群体与凯利准则之间的关系最好被描述为爱恨交加的关系。一些反对凯利准则的人在网上的谩骂让萨缪尔森的言论显得苍白无力。《职业赌徒通讯》报的出版商J.R.米勒写道：“下次再有胡乱推销的人建议你使用某种先进赌博策略，比如所谓的‘凯利准则’，一定要看看他有没有数学硕士学位证，最好是研究概率方面的。”米勒说：“凯利准则应该被称作‘科沃基安[1]准则’或者‘神风突击队[2]准则’。这简直就是自杀。”
1703444585
1703444586
他指的当然是在连续进行凯利式下注后财富呈现令人心碎的下跌情况。米勒提出的补救措施是，无论在任何情况下投注金额都保持相同。通过对他报纸（每月99美元）中所选的体育项目进行投注，米勒表示在一年之内你可能会将资金变成原来的3倍。米勒还报道称，“根据成瘾防治及心理健康中心科研专家奈杰尔E.特纳博士所说，增量赌博（凯利系统中的赌博形式）是赌博成瘾的人的一个警示信号。”
1703444587
1703444588
很多网站都对凯利的投资方式进行了探讨。有些试图将凯利准则与普通的股票选择进行关联。这些网站常常将凯利的数学运算变成说教，没人会确切地反对（“获得胜率时进行投资并注重长线投资”）。而凯利准则有趣的特性（最大化收益和零破产风险）在于要求精确估算胜率和赔率，在普通投资中是很难实现这种精确度的。
1703444589
1703444590
凯利准则的一些追随者都普遍相信沃伦·巴菲特就是一个秘密认同凯利准则的交易者。巴菲特的投资哲学就是把钱投入他相信拥有胜率的一些公司中，然后关注长线收益，这一点和“信念下注”是相同的——无论巴菲特是否曾听说过约翰·凯利这个人。这种理论是根据基金经理人罗伯特·哈格斯特朗（Robert Hagstrom）所写的《巴菲特的投资组合》（The Warren Buffett Portfolio）一书而发展起来的。哈格斯特朗直白地写道：“我们没有证据证明巴菲特在分配伯克希尔公司资金时运用了凯利模式，但依我看，凯利的概念是合理的，它巧妙地映射了巴菲特的想法。”
1703444591
1703444592
索普本人写道：“根据我的经验，使用凯利准则的大多数谨慎的赌徒或投资者常常会发现资金削减的频率实在过高。”赌博群体已经开辟出减弱凯利系统出现的可怕波动的途径。索普在普林斯顿-纽波特公司也采用了类似的方法，我们很难夸大这些方法的重要性。如果对冲基金的资产价值与连续投注的凯利赌徒的资金一样不稳定的话，这个对冲基金是不可能在市场中实现运作的。有两种方法可以缓和这种波动。
1703444593
1703444594
一种是以凯利赌注金额的固定比例进行投注。和从前一样，你要决定哪种投资或者投资组合的几何平均数最大。然后，在设定赌金时要少于凯利准则的全部赌金。赌徒们很喜欢的一种方式就是“减半凯利模式”。你的投注金额总是凯利赌注金额的一半。
1703444595
1703444596
这是一种吸引人的权衡交易，因为可以极大地减弱不稳定性，而且收益只减少1/4。在完全根据凯利准则下注时，财富值每时间单位以10%的速率积累，在这种赌博或者投资活动中，采用“减半凯利模式”时财富积累的速率为每时间单位增长7.5%。
1703444597
1703444598
撕心裂肺的痛苦和咬牙切齿的懊恼也都极大地减弱。据显示，完全采取凯利准则下注的赌博者在资金翻倍之前有1/3的概率遭遇资金减半。减半实行凯利准则的赌博者则只有1/9的概率在资金翻倍之前遭遇资金减半。
1703444599
1703444600
雷·迪林杰（Ray Dillinger）在网络上将凯利准则描述为“进取型投资”和“癫狂型投资”之间的“清晰分界线”。这种说法恰当地描述出凯利系统零破产风险这一特性的吸引力。图4-6中呈现的是复合收益与赌金（头寸）规模的比较。横坐标划分出来的单位称为凯利比例。“1”代表标准的凯利投注（本身就是投资者财富值的既定比例），“0”代表不投注，“2”代表双倍凯利投注。复合收益值的顶峰在标准凯利投注处出现。曲线顶部出现横向切线，你减少或增加一点赌注都不会对收益率造成太大影响。
1703444601
1703444602
1703444603
1703444604
1703444605
图4-6 进取型投资与癫狂型投资的比较
1703444606
1703444607
你的赌注越大，资金的上下波动就越大。因此，当你移动到图4-6的右侧时，波动也随之增加。图4-6左侧，包括凯利赌注本身，都属于进取型。凯利赌注右侧部分都属于癫狂型。之所以说是癫狂型，是因为它们的复合收益降低，而且比凯利系统产生的波动更大。
1703444608
1703444609
当投注比例是凯利赌注的2倍时，复合收益率下降至0。如果赌注金额更大，结果就变成负值。当赌博者的资金剧烈波动时，总体趋势向下发展。