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注意,我把公式9–3中的S改成了FVn,FV是“终值”英文“Future Value”的缩写,n这个脚标表示期间数(比如n年),把P改为了PV,它是“现值”英文“Present Value”的缩写。
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这个终值公式比复利法公式的适用范围更大,不但可以计算借钱的本金和利息之和,也可以计算现在的一笔投资在若干年后的全部收益,还可以计算现在的一笔奖金在未来的价值等。复利法公式只不过是终值公式的一种特殊情形罢了。显然,终值公式受到了复利法思想的启发。
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利用公式9–6,可以根据终值求现值,即:
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公式9–7
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不过,这里的i就不能再叫利率了,因为这是根据终值反过来求现值,这时的i应称作“贴现率”(贴现是什么,以后会说明),n也不再是计算利息的期限数,而叫贴现期数。不过,含义是差不多的。
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叫贴现系数,这是公式的核心。有了贴现系数,计算现值就很容易了。贴现系数跟对数表一样,有现成的“贴现系数表”,不用自己算,所以计算现值实际上是很容易的。
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根据习惯,我们把根据现值推导终值的过程叫作复利过程,而把根据终值推导现值的过程叫作折现过程。
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哪个项目更合适?
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有一笔钱,100万元,期限三年,有两个投资[1]项目可以选择,第一个项目逐年的收益(毛收入)是60万元、50万元、20万元;第二个项目逐年的现金流是40万元、40万元、40万元。假如贴现率是10%[2](可以近似理解为利率),哪个项目更值得投资呢?
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这就要比较它们的现值。
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根据公式9–7,可以计算第一个项目的现值是:
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万元 公式9–8
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第二个项目的现值是:
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万元 公式9–9
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有一个重要的概念叫“净现值”,也就是投资的现值之和减去最初的投资额。如果净现值大于零,相当于有正收益,可以投资;反过来,如果净现值是负的,表示没有收益,只有亏损,不该投资,与其如此,不如放着资金不动[3]。
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第一个项目的净现值是10.9万元,第二个只有–0.5万元,是负的,所以第一个好。如果两个项目都有正的净现值,那么哪个净现值高,哪个项目就更好,应该选择它。当然也可以选择用终值标准。你可以试试。
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年金(Annuity)
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如果一个投资项目,在未来的多年里,每年都有一笔或多或少的收益(可以是毛收入,也可以是利润等),这些收益会形成一个现金流。根据终值和现值公式,我们既可以计算这些现金流的终值,也可以计算它们的现值。
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公式 9–10
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Ct为第t期的现金流。这个现值是每一期现金现值的总和。
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同样,给出一期现金流,也可以计算它们的终值:
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公式9–11
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