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“但是如果（要放弃一生的罪过），这样的话我也许赌得太大了。”我们可以想想，因为得失机会相等，如果你拿地球上缺乏道德规范的一生去赌具有上帝赐福的两辈子，那么你就可以一搏（即使你并不确定怎样选择），但是如果你赢得是上帝赐福的三辈子呢？……如果你迫于无奈必须选择，在得失相等的游戏中你不冒生命危险去赌上帝赐福的三辈子是不明智的。但那毕竟有来世的生命和幸福，如果真是这样的话，即使机会无限，只要其中有一个使你受益，那么赌一次仍然是正确的选择……因此在得失机会相等的游戏中，如果赌注（或可能的损失）是有限的但所获得的奖励是无限的时，我们的论据就具有无限的分量。
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帕斯卡的思想在整个欧洲产生了巨大的影响。他的朋友及其周围的人意识到，比起微积分的发明，帕斯卡在不确定性或随机世界所做的事情毫不逊色。帕斯卡试图弄明白怎样将对得失的估计与对未来事件的可能性的估计结合起来，从而确定何种行为方案可以产生最优结果。
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帕斯卡的朋友安托万·阿尔诺说：“我们从中得到的主要收获是：它们可以使我们更加理性地看待希望与恐惧。”
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将价值同概率结合起来
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20世纪前半叶，概率论成为估计具有不确定结果的未来事件可能性的工具。由于它赋予了未来事件的可能性以数字形式表达的值，所以对于解决如何选择不确定条件下的最优结果这一问题，概率论取得了巨大的成功。
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在此基础上，帕斯卡和阿尔诺又进行了进一步的研究。他们开始将关于事件可能性的信息同该事件对选择者的价值结合起来思考。帕斯卡完成这一结合的公式很简单：把某事件的概率同用货币（比如金路易）表示的该事件的价值相乘，通过这种方法求出预期值。于是，最优化决策就可以简化成这样一种能够确立可产生最大预期值的行动方案的技巧。
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需要注意的是，这种方法仅仅是核心发现之一，它并不是现代经济理论建立的基础。随着预期价值理论被广泛应用和理解，瑞士数学家约翰·伯努利的儿子尼古拉斯·伯努利首次对从这一理论推出的奇怪悖论进行论述。这就是上文介绍过的圣彼得堡悖论。
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18世纪早期，这个被人们所了解的圣彼得堡悖论成了概率论研究中的一大热点。直到1738年，这一悖论才被尼古拉斯的弟弟丹尼尔·伯努利解决。
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丹尼尔认为预期价值理论这种观点向人们提出了不合理的要求，它暗含地假定人们对风险无动于衷。让我们来考虑一种典型情况。想象一下，现在你饥饿难耐，而且此时已经很晚了，如果现在你有两种机会可以选择：一种是100％的可能性赢得50个土豆条；另一种是有50％的可能性赢得100个土豆条。面对这两种情况，大多数人一定会选择肯定赢得50个土豆条的机会，而不愿冒险以至于一无所获，继续流浪。我们可以通过增加获胜概率为50％的抽奖法的支付，直到人们发现两种抽奖对他们来说具有相同的吸引力，从而评价人们对风险的厌恶程度。100％的机会得到50个土豆条与50％的机会得到多少个土豆条具有相同的吸引力呢？150个？200个？还是400个？通常大多数人表示，比起肯定可得50个土豆条的那个游戏，他们稍稍偏爱于有50％可能性得到200个土豆条的那个游戏。正如伯努利所提出的，在心理上200个土豆条的价值大概相当于50个土豆条的两倍。
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现在让我们作进一步探讨：减少这两个抽彩给奖法的支付价值。在100％可得到5个土豆条和50％可得20个或者15个或者12个土豆条的这些抽彩给奖法中，你会选择哪个？对于50％可得12个土豆条的赌局和100％可得5个土豆条的赌局，几乎所有人都一样中意。虽然在心理上200个土豆条的价值只是50个土豆条价值的两倍，但是12个土豆条的心理价值却是5个土豆条心理价值的两倍。伯努利指出了这点，并得到结论：任意所得在心理上价值的增长速度慢于数学上价值的增长速度。
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与丹尼尔·伯努利同时代的德国生理心理学家韦伯也通过研究发现这一现象：人们感受到的差别的不同量之间的绝对差并不是恒定的。他以感知重量为例，人们能分辨出10克与11克之间的差别，但是却分辨不出1000克与1001克之间存在着的差别。
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另外，丹尼尔还发现：比起那些一无所有的人，富人（在上面这个例子中指那些拥有几袋土豆条的人）更愿意冒险。
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对于丹尼尔来说，这些观察结论都显示了这样一个道理，即所得的心理价值同所得的数学价值是两个不相同但又相互联系的概念。他指出人们在作决策时，总是先估计那部分价值使自己当前状况改善的机会有多大，而不是这部分的绝对价值。在此基础上丹尼尔创造了一种将价值与效用联系起来的简单形式，利用二维平面图就可以表示两者之间的关系（参见图2-2边际效用递减）。这就是效用理论。
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概率论的进步
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18世纪中期之前，概率论（显著地不同于评价理论——如预期效用理论）几乎全部集中于对诸如赌博、投硬币、预期寿命等这些具有不确定性的未来事件可能性的估计上。这类可能性估计常被称为“偶然概率”。
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准确地说，偶然不确定性事件指一种可能性事件，帕斯卡曾预言它将成为“概率论的算法”的研究主题。不管世界是否真正具有确定性（就像笛卡儿和伽利略所希望的那样），我们通常不知道将来会发生什么。
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但是，有两个人意识到，概率论不仅可以用来估计未来事件的可能性，而且还可以对过去事件的可能性进行估计。虽然这一点看似微不足道，但是却改变了欧洲人对概率数学的思考方式，同时也为更加正式的决策理论开创了新局面。这两个人是英国牧师托马斯·贝叶斯和法国数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯。
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托马斯·贝叶斯
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当时一位天文学家短时间内连续6次对木星的地平纬度进行测量，从而得到6个不同的值。木星有唯一的地平纬度，但是我们却得到了6个并不完全准确的值，且各不相同。我们可能要问，哪个才最有可能是木星的真实地平纬度呢？正是由于托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，约1702—1761年4月17日）的发现（在他去世后于1763年成书出版）才使得概率论能够回答这类问题。
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贝叶斯认为，如果知道了由天文学家的仪器所引起的误差的分布，那么就可以在数学上推出最有可能的木星的真实海拔值了。有一点需要指出的是，这类概率不存在任何偶然的成分。因此在进行测量时，木星肯定有一个真实的海拔值。不确定性仅仅源于我们知识的不足。在这个例子中，我们所面临的限制全部都是认识论上的。此外，贝叶斯还指出，概率论不仅可以用来描述偶然的不确定事件，还可以用以描述认识论上的不确定事件。
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贝叶斯的见识相当深邃。他意识到，我们对很多事情仅具备不完全或不准确的知识，所以尽管有些事情真的发生了，但是由于我们知识的有限性，使得它们仍然具有不确定性。
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贝叶斯定理为解决这类认识论上不确定性的基本统计方法奠定了基础。贝叶斯定理通过下面的方法做到了这一点：在给定某人有效的观测结果的情况下，它将对世界所有可能的过去状态的概率预测过程置于严格的数学基础之上。
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人们对贝叶斯的生平知之甚少，只知道他是一位生活在乡下的新教神学家。他生前只有两部著作：一本是神学著作《神的善行》；另一本是数学著作《流动学导论——数学家针对分析学家异议的辩护》。贝叶斯去世之后，他的朋友，也是他遗嘱的执行者理查德·普莱斯在其论文中发现了一篇名为《论如何利用或然性理论解决问题》的手稿。普莱斯于1763年将这份手稿交给了皇家学会，凭借这份手稿，贝叶斯获得了巨大的声誉。
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