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最后，通过设定与一个基准投资组合有关的风险和收益率来公式化一个误差追踪问题通常是自然的。如果rb是基准投资组合的收益率，那么这个问题成为
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注意到，rb确切起了无风险利率的作用。任何基准投资获得的期望超额收益率为0，而且不会有风险。因此，如果将μ解释为超过基准的期望收益率，将V解释为超过基准的收益率协方差矩阵，那么上面公式化的问题都用一个基准来表示。
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现在考虑由一个经理选择的资产组合，这个经理对收益率协方差和期望收益率有错误的估计。假设他认为期望收益率是m，收益率协方差矩阵是H，他将选择的资产组合由式（2-32）给出，其中H和m代替了它们的实际值。如果我们把这些权重记做是，那么可以得到
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这个投资组合不会有他所期望的均值和方差。相反会有
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尽管均值和Sharp比率可能比预期的要大或者小，但是方差将总是大于预期。Engle和Colacito证明了
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因此，一种对好的协方差信息价值的测度方法是降低风险，这能用一个特定的预期超额收益率向量m来实现。对这样的一个测度也可以根据μ0的增加来表示，这能由拥有准确协方差信息的经理在不增加风险的情况下实现。对于不同的期望收益率向量，协方差信息的值一般是不同的，但是这个值总是非负的。一个考虑向量m的先验分布的贝叶斯准则可以平均化这些损失。
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这个损失函数明显取决于真实的和构造的协方差矩阵，而这些矩阵以如同它们出现在倒数和比率中这种复杂的形式出现。Engle和Colacito指出，在这种情况下，存在一类没有成本的误差。这些误差不小，但它们不会引起风险增加。通过分析可以知道，如果m是矩阵ΩH-1的一个特征向量，那么这些误差就会出现。直接的替代可以得到这个结果。Engle和Colacito用图详细描述了这个条件，并发现这个条件与一个相切条件非常一致。
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式（2-37）的结果暗示了一种对协方差估计准确性的检验程序。当构造具有一个特定超额收益率向量的最优投资组合时，具有最小方差的投资组合是符合最好的协方差估计的。零假设是这些方差相等，这可以按照Diebold和Mariano（2000）的方法对一个期望收益率向量进行检验。Engle和Colacito给出了检验统计量的一个改进版本。类似地，对于所有ms的一个有限集，可以建立一个联合检验。
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本书第9章将用这个辨别协方差估计量是否准确的方法来比较书中介绍的不同的预测模型。通过对期望收益率作出简单的假设，我们能够构建最小方差投资组合，这个投资组合会随着预测的更新而发生改变。这些投资组合的方差是一种对表现的测度。第9章的相关内容将用到两个标准：第一个标准是最小方差投资组合，这等同于假设期望收益率相等；第二个标准是一个多-空对冲投资组合，这等同于假设一个资产有正的超额期望收益率，而另一个资产仅仅希望能获得无风险利率。
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与基于资产分配或风险管理准则来测度表现有关的方法已经得到许多作者的应用。Alexander和Barbosa（2008）和Lien等人（2002）使用了一个样本外对冲准则来评估一个协方差预测。Baillie和Myers（1991）使用双变量模型来最优化对冲。Chong（2005）考察了暗含波动性的预测性能和计量经济学的预测性能。Ferreira和lopez（2005）、Skintzi和Xanthopoulos（2007）使用了一个风险——价值准则。Giamouridis和Vrontos（2007）考虑了最优化对冲基金的表现。Thorp和Milunovich（2007）讨论了对资产配置用一个非对称协方差估计的好处。
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预见相关性：风险管理新范例 第3章 相关性模型
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自从Engle（1982）提出能够用一元时间序列计量经济学方法来对波动性进行建模和预测这个思想以来，大量的文献已经发展来利用这些方法来模型化多元协方差矩阵。也许最开始试图估计一个多元GARCH模型的文献是Engle等人（1984）和Bollerslev等人（1988）。这些文献已经得到Bollerslev等人（1994）、Engle和Mezrich（1996）以及更近的Bauwens等人（2006）、Silvennoinen和Terasvirta（2008）的考察。
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然而，在这些方法被引入之前，有关人员已经基于历史数据窗口和指数平滑法对随时间变化的相关性设计了一系列模型。这些方法中的许多方法目前得到了广泛应用，并且它们为一个好的相关性模型所需要的关键特征提供了重要的见解。
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这个领域的论文都在寻求如何参数化一组随机变量的协方差矩阵，这种方法以一组可观测的状态变量为条件并且普遍采用的是因变量过去的过滤值。设向量y是一组类似资产收益率的随机变量，那么目标是参数化和估计。
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Ht=Vt-1（yt） （3-1）
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从这个条件协方差的估计中可以立即得到条件相关系数和条件方差。变量i和j间的条件相关系数的标准定义是
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