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【引理3-2】如果A是一个n×n对称正定矩阵并且b是一个n×1非零向量，那么C=A⊙bb′是正定的；如果A是正半定的，那么C是正半定的。
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对引理的证明过程简单地将乘积重写为C=diag（b）Adiag（b），这里diag（b）是一个对角元素为b的矩阵。我们马上可以得出下面的结论。
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【引理3-3】如果A和B是正半定对称矩阵，那么C=A⊙B也是正半定矩阵。
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这个引理的证明将B重写为它的谱分解形式并且认为所有的特征根必须是非负实数。因此有
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这是正半定矩阵的一个加权和。Styan（1973）给出了关于Hadamard乘积更多的细节。
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利用这个工具，式（3-17）中的对角vec模型能写成
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这里矩阵A和B分别是式（3-17）中所有a和b的值的集合，这些a和b本身都是A*和B*的所有对角元素。这两个引理现在能用来为正定性设定参数约束。
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【引理3-4】如果所有的矩阵A和B都是正半定的，并且如果矩阵Ω是正定的，那么对于任意t，矩阵H将是正定的。
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证明过程再次将两个引理应用到构成Ht的矩阵的和中。
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Ding和Engle接着描述了几个确保正定性条件被满足的参数化过程。在每种情况下，截距矩阵必定是正定的。最简单的模型是标量—对角模型，在这个模型中每个矩阵只是一个参数乘上一个单位矩阵。
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标量—对角模型：As=αsιι′，Bs=βsιι′，这里α和β都是标量并且ι是一个单位向量。
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第二个模型是一个向量外积。
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向量—对角模型：As=asa′s，Bs=bsb′s，这里a和b是n×1向量。
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最后，矩阵外积如下所示。
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矩阵—对角模型：As=ΨsΨ′s，Bs=γsγ′s，这里Ψ和r是矩阵，可能具有降秩。
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很明显，这些模型都满足引理3-4的假设。此外，这些模型的组合也将满足引理3-4。因此，不是所有滞后项都需要有同样的形式，并且ARCH和GARCH项可以是不同类型。
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还可以构建另外的能确保正定性的一般的vec模型。这些模型由Engle和Kroner（1995）提出并且以从事于这些模型的研究生：Yoshi Baba，Dennis Kraft，连同Ken Kroner和我的名字一起命名。这个BEKK表达式为
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如果Ω是正定的，那么上式明显也是正定的。这里的系数矩阵可能是满的、对称的、降秩的、对角的甚至可能是等式的倍数。但是这些情况都不影响矩阵H的正定性或对策性。为了了解这个模型与上面提出的其他模型的关系，我们需要引理3-5。
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【引理3-5】对于任意三个可乘矩阵A、B和C，vec（ABC）=AC′vec（B），这里符号“”表示一个张量积。
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