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图9-8 针对Lo和MacKinlay投资组合的3σ带
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图9-9 高账面市值比减低账面市值比投资组合的3σ带
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实施反向收益策略有4天，这4天的收益率都分别超过3个标准差。分别是2007年5月7日、11月9日、11月19日和2008年1月23日，但并没有一天在8月。同样置信带在这个7月不断增加并在8月6日达到最大，尤其在对冲基金危机之前这样的增加是显而易见的。
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最后，高账面市值减去低账面市值的投资组合如图9-9所示。3σ幅度振荡发生在图中的一天，也就是在10月19日的上行方向。在8月之前的置信带增加，同时对冲基金也因这个投资组合受到较大损失，但是在8月6日~10日置信区间继续扩大。
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从这个分析的总体印象是，至少对于这些大盘股，对于用动态的多头-空头策略进行风险管理来说，模型估计到2004年是相当充足的。没有证据表明在这些资产中发生过25σ事件。同时也可以清楚地发现，有证据显示在8月前市场的风险在增加。在大多数情况下，风险在整个7月都呈上升的态势。
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如果波动性和相关性的测算是建立在使用过时信息的单纯方法，那么这样的结果几乎没有什么吸引力。为了说明这一点，在图9-7中考虑了具有相同价值的投资组合，但使用1000天历史模型来估计波动性和相关性。置信区间的结果，如图9-10所示。
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从图9-10我们可以看出，有七天发生了3σ事件，而不仅仅是一天。此外还有四天发生了4σ的事件和一天发生了5σ事件。并且图中显示发生了1σ和2σ事件的天数比平常经历得更多。使用一系列简单方法测量出的波动性和相关性会导致风险的误算，尤其是当经济环境迅速变化的时候。根据新的信息随时更新相关性和波动性的计算方法可能比用历史数据来测量未来风险更可靠。
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图9-10 利用1000天历史数据得到的价值投资组合的方差和相关系数的3σ带
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这是一个重要的平台来检验预测相关性的能力。风险管理不仅是资产管理中的重要功能，还是选择投资组合中的关键因素。获利多而不过多承担风险的目标只有用先进的衡量和预测风险方法才能实现。
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预见相关性：风险管理新范例 [:1703535735]
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预见相关性：风险管理新范例 第10章 信用风险和相关性
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过去10年间，信用衍生产品数量和多样性的增加是金融市场最有趣的发展之一。这些合约提供了违约的保险，因此允许投资者管理其信用风险。保险可以以单一名义购买或者以一篮子证券的名义购买。这些保险允许投资者无论是在一个实体或组合都可以购买和出售与违约相关的风险。随着金融市场的全球化，在世界各地的投资组合中都可以看见信用衍生工具。保险分担风险的能力，使得投资者承担了他们选择的风险。对于这个话题，见Hull（2006）。
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信用违约互换（CDS）提供了一个特别提及安全的风险。买方在CDS整个周期内或者直到其违约时支付定期的息票（通常是每季度）。在违约的情况下，买方可以参照实体违约债券的面值将其卖给CDS的卖方，或者有时规定用等价的现金交割。卖家在违约前都可以收到定期的保费，在这期间他必须支付本金上的损失。销售保险的现金流本质上与参照的国债的现金流相同，但是国债的本金不能进行交换。CDS合约溢价的大小从根本上是与违约的概率和违约下的回收率挂钩。溢价通常被称为价差，因为其承担违约风险的收益大于无风险收益率。
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违约模型有时是根据股票价格的结构模型，有时是根据简化形式或者直接违约的预测来制定的。结构模型的研究重点是将迄今为止发展出的理念整合到一起。许多优秀的文献都在讨论前面提到的两种方法，例如，Lando（2004）、（2003），以及McNeil（2005）等学者。Longstaff和Rajan（2008）运用一个简化模型来分析与这里相类似的数据集。结构模型建立在Merton（1974）的基础上，反映了一个事实，股票可以看做是公司价格的一个期权。当股票价格变为零时违约发展，同时债券持有人拥有该公司的剩余价值。更为现实的情况是，违约发生在价格较低但是不为零的时候。因此，我们可以很自然地想到违约的概率就是股票价格低于某些违约前沿的概率。如果违约的概率是已知的，那么违约前沿可以根据未来股票价格模型来计算，就像前面章节中开发的模型一样。CDS的市场价格就是市场对于违约概率的看法。CDS的价差除以回收率通常大约被看做是风险中性违约的概率。各种风险管理系统从更根本的考量来计算违约前沿，同时测量“违约的距离”就是股票价格将下降到违约的距离。它也可以计算CDS的风险。这种分析中最重要的观测值就是违约概率和股票波动性之间的密切关系。如果股票价格的波动性增加，那么股票价格曲线穿过任何特定的违约前沿的概率也会增加。如果波动是不对称的，那么收益分布将是负偏态的，同时穿过违约前沿的概率将会更高。因此，在多期股票收益极端波动模型中的核心就是在这种结构背景下的违约概率和CDS定价模型。
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对于投资者而言，如果违约是独立的，那么违约风险会更易于管理。在这种情况下，由许多债券投资构成的大的投资组合将永远不会面临太大的风险。然而，当违约是相关时，大量违约发生的概率是很大的。提供这种保险的衍生工具通常被称作担保债务凭证（CDO）。担保债务凭证是各种形式资产的组合，这些资产是在不同风险程度上出售给投资者的。也就是将投资组合根据其年收益划入不同的层级。首先发生的损失完全归咎于最低的或者股票收益层级。投资组合中固定收益层级的价值耗尽后，下一层级才遭受损失，等等。股票收益层级后，下一个最低的是夹层或初级层级担保债务凭证，最高的是高级或者超高层级担保债务凭证。中级层级需要花费更多去购买，同时是一个收益率比股票收益层级低但是违约风险也比其低的层级。最后，高级层级是最昂贵的同时收到的收益率最低，因为它们几乎不会违约。在这种情况下，投资组合包含一些在开始无法区分的不良贷款和优良贷款，投资组合可以分为高档和低档的投资。评级机构通常（至少在2007年夏天之前）在对高级或者超高层级给予AAA评价时忽略了投资组合中的内容，因此这种结构会导致从任意的贷款池中创建既是高风险又是高收益的证券。Das（2007）指出对新巴塞尔协议信赖对信用评级的重要性。
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这种结构的吸引力导致信贷市场业务的蓬勃发展。新型贷款的发明，填补了这些担保债务凭证。我们现在看到，次级抵押贷款的大业务是在这种需求的推动下，将资产投入到这样的投资组合中。类似的解释可以提供低品质债券由私募股权出售以资助其收购。学生贷款、房屋净值贷款、商业贷款、信用卡余额和许多其他资产类型都找到了它们自己的方式进入担保债务凭证。一种重要的担保债务凭证类型，被称作综合担保债务凭证，它包括了信用违约互换（CDS）的集合名称。在这种情况下，投资者出售信用保护，并接受定期保费，但负责支付相关的损失与信贷事件。这种结构上的变化是无止境的，当它变现时担保债务凭证的层级可以用作其他担保债务凭证的资产，导致担保债务凭证平方和立方合同。专业保险公司为与担保债务凭证层级。
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相对的这些证券和许多信用违约互换提供保护。投资级的担保债务凭证层级通常会获得比同类企业债券更高的收益，所以很多银行和其他机构利用这些证券实现更好的收益。在这一战略的重要参与者包括许多原来的经纪人。想了解更多，请参见瑞银集团（2008）和国际货币基金组织（2008）。
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底线是巨大数量的担保债务凭证部分遍及全球金融市场。许多这些非常危险的债务都是由投资者和评级机构甚至是发起人自己投资的，他们必须相信无论其构成高级层级基本上都是无风险的。但是时间已经证明这是不正确的。次级贷款的担保债务凭证以及程度较轻的其他种类的担保债务凭证已经实现了巨额亏损。
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为什么这么多人惊讶这些损失？它们怎么会低估了风险？两个重要的变化，直接影响到这些衍生证券的平均违约率的变化和违约相关性的变化。在违约情况下的结构模型中，它们是股票波动性和股票相关性变化的自然结果。
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考虑标准化的综合担保债务凭证称为CDX NA IG8，这是2007年3月20日发行，并具有5年到期。它包括125名同等权重信用违约互换。名称中的“NA”代表北美，“IG”代表投资评级。8号代表一个特定的综合担保债务凭证。这些信用违约互换的平均加权指数也有被报道和流通，它被称为信用违约掉期指数（CDX）。在接下来的一年，指数的利差从40个基点上升至超过200个基点。由于这些指数大致可以被视为无风险利率和风险投资级债券之间的利差，所以这是一个戏剧性的增加，如图10-1所示。在图10-1中的曲线的后半段，有一些消失的观测值，这是因为合约在后期只有零星的交易。
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