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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562346]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 第2章 波动率的度量
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我们已经知道，如果要在期权交易中寻找机会，就需要先对未来的已实现波动率进行估计，然后再和期权的隐含波动率对比进行相应的交易。在预测未来的波动率之前，我们需要先对过去的波动率水平进行度量。在本章中，我们会研究度量历史波动率的各种方法，包括收盘价–收盘价波动率、Parkinson波动率、Rogers-Satchell波动率、Garman-Klass波动率和Yang-Zhang波动率。我们将会讨论每种方法的效率（估计值能以多快的速度逼近真实值）和偏差（该方法的估计值是否会系统性地高于或低于真实值），以及如何受到真实市场不同特征的干扰。这些特征包括收益率的厚尾现象、趋势和微观结构噪声等，同时我们也会研究度量不同的频率。当我们理解何为历史波动率后，就能着手研究它的属性。我们将侧重论述均值回复、波动率聚集以及季节性效应。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562347]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 波动率的定义及度量
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在交易的时候，我们不仅仅需要未来波动率的一个点估计，还需要对波动率可能所处的区间进行估计。为了得到这个估计，我们要研究波动率锥（volatility cones）的构建和抽样的属性。如何度量波动率以及预测其分布是期权交易成功的关键。但遗憾的是，它们并非（期权交易成功的）充分条件。仅仅因为波动率便宜就买入，或者因为它贵就卖出，这往往不会是一个好主意。通常，东西便宜自然有其便宜的道理。我们所做的任何预测都需要相应的基本面分析作为补充（例如，究竟什么因素会导致波动率上升？当持有空头头寸时，我们不希望发生什么情况？）。市场相当复杂，并且相互关联，所有度量和预测的结果都必须置于当前的交易环境中进行考量。
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度量波动率不同于估计价格。瞬时波动率是无法被观测到的，它需要时间来验证自己。度量波动率更像是一门艺术，因为我们要从众多的统计量中做出选择。事实上，Poon（2005）就列举了100篇以上关于波动率预测的参考文献，这在一定程度上反映了该问题的难度。这里，我们的目的并不是要给出一个明确的答案，而只是给出一些估计波动率的方法，并研究它们各自的优势和劣势，以及在什么情况下该使用什么方法。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562348]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 波动率的定义
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波动率的标准定义是方差的平方根。方差的定义为：
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其中，xi为对数收益率，x为样本的平均收益率，N为样本数量。为了将方差以年化的形式表示，我们需要将原方差乘以年化因子N，也就是一年的交易周期。例如，当我们使用日频数据时，N就是252，因为这是一年中的交易日数量（至少在美国是如此）。
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如果该历史价格序列包括了股息支付（或者拆股），那么就有必要对价格序列进行调整。由于除息的影响，即使股价没有发生波动，看起来也会有一定的波动。如果不进行调整，那么对波动率的度量就可能会出现若干个百分点的误差。例如，如果由于除息导致股价跌了3%，那么年化后看上去就变动了48%（即）。这样一来，波动就被显著放大了。
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有多种进行调整的方法。第一种方法是在除息日简单地把股息从除息前的股价中减掉。这种方法能够使股价在除息前后日变化的绝对值保持不变。但该方法的缺点是：如果支付股息的次数足够多，量足够大，那么在调整后很有可能会得到负的股价。
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另一种更好的方法是将股价乘上一个不受百分比变化影响的调整因子。这个因子是：
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对除息日前的股价都乘上这个因子，称为向后调整。相应地，也可以进行向前调整。如果进行向前调整，那当前的股价将不同于调整后的股价。
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式（2-1a）并没有对分布做任何假设，仅仅是一个加总。所有有限数量的样本都可以计算方差。然而，为了在期权定价中使用波动率，我们需要假设其收益率的生成过程。正如前文所提及的，BSM模型假设收益率服从正态分布。在这样的情况下，方差就完全刻画了该分布的形状。我们知道这个假设是不正确的，但我们仍希望方差（以及波动率）是刻画收益率分布宽度方面的一个重要参数，甚至是决定性参数。
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在金融领域，将收益率均值（漂移项）和方差区分开是很难的（这在许多关于交易策略和交易结果的讨论中都是核心问题），并且收益率均值的估计也是出了名的不准，特别是在小样本的情况下。因此我们通常把式（2-1a）中的平均收益率项设为0。通过去掉一个噪声源，这会增加度量的准确性：
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为了从样本方差得到总体方差的估计，我们需要做一下转换（Kenny和Keeping，1951）即
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