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图3-4 标准普尔500绝对收益率值的自相关性（1950～2011年）
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波动率聚集现象不依赖于合约标的。这一现象在股票指数、股票、商品和外汇上均有出现（Taylor，1986）。此外，绝对收益率的相关性比平方收益率更高这一点，也是广泛存在的。自相关函数的缓慢衰减同时也被称为“长记忆性”。
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聚集意味着，不管当前波动率是多少，它都是未来波动率的很好估计值。期权交易员将它内在化为一条经验规律：明天的波动率会和今天的一样。他们甚至不知道这一点究竟有多显著。合约标的价格一般没有这个特征，这是波动率相对容易预测的第一个理由。
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关于波动率聚集，还有一些其他的事实需要注意：
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·成熟市场的波动率聚集会比新兴市场更明显。
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·聚集在熊市中更为明显，而在牛市中则稍弱，但自相关性的衰减同样在熊市中更快。
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·在发生暴跌或其他大的恐慌期间，自相关性衰减得最快。
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另一个有助于预测波动率的典型事实是，波动率是均值回复的。随着正的自相关性最终衰减，短期波动率会向长期均值回复。一种对均值回复进行鲁棒性（稳定性）检验的方法为Campbell、Lo和MacKinlay（1997）提出的方差比检验。当用日收益率数据来度量的波动率比用其他更长周期的收益率来度量的波动率更大时，就存在均值回复。这是由于虽然市场在不停地波动，但在长期中却不会有太大变化。例如，波动率指数（VIX）的年化日波动率为0.96（1990～2011年），年化周波动率为0.84，而年化月波动率为0.59。已实现波动率也是如此。
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虽然波动率在朝均值回复，但其均值的当前值却常常并不明显。这和人生中的许多事一样。短期波动在围绕着一个缓慢变化的均值摆动。再来看看我们幸运的棒球击球手的例子。他在比赛中五发五中。显然这并不足以估计他的真实能力，我们预期会朝均值有一些回复。但他是回复到去年的0.277平均值，还是他整个职业生涯的0.300平均值呢？波动率均值的变化可能会很显著。图3-5和图3-6显示了VIX（芝加哥期权交易所的标准普尔500隐含波动率指数）及其均值在两个不同期限内的值。每一个期限内都是均值回复，但却是非常不同的均值。
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图3-5 VIX及其均值（2000～2003年）
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图3-6 VIX及其均值（2004～2006年）
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波动率聚集（正的自相关）和均值回复之间的相互作用，主导了波动率的动态变化。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562354]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 收益率分布的特征
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金融工具的收益率并不服从正态分布。特别地，它们是有偏的（常为负）和厚尾的（超额峰度）。厚尾的存在意味着，发生大的价格变化的次数会比我们所期望的当收益率服从正态分布时要更为频繁。人们并不是最近才发现厚尾的存在，至少早在1927年就由Mills（1927）记录了下来。
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在1950～2011年，标准普尔500日频对数收益率的超额峰度为21.3。有24天的收益率小于-5%，而有17天大于5%。最差交易日（1987年10月19日）的收益率为-20.47%。如果收益率服从方差为20%的正态分布，那么发生这种情况的概率约为10-88。
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图3-7为日收益率与正态分布的对照。
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图3-7 标准普尔500日频收益率（实线）和正态分布（虚线）
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