1703563638
1703563639
在用GARCH模型预测波动率时，我们会采用迭代的方法，在未来某个时点：
1703563640
1703563641
1703563642
1703563643
1703563644
或者：
1703563645
1703563646
1703563647
1703563648
1703563649
所以有：
1703563650
1703563651
1703563652
1703563653
1703563654
如果注意到如下的结论：
1703563655
1703563656
1703563657
1703563658
1703563659
便能得到：
1703563660
1703563661
1703563662
1703563663
1703563664
通过迭代可以得出：
1703563665
1703563666
1703563667
1703563668
1703563669
通过式（4-9）可以推出波动率预测的期限结构。图4-2便给出了一个波动率期限结构的示例，这是在微软股票的日收益率序列上应用GARCH（1，1）模型，相应的时间区间为2003年5月21日到2007年5月21日。GARCH（1，1）参数的估计结果分别为ω=0.00000505，α=0.053，β=0.884。
1703563670
1703563671
1703563672
1703563673
1703563674
图4-2 由GARCH（1，1）模型预测的波动率期限结构（微软，2007年5月21日）
1703563675
1703563676
GARCH模型只能得到以指数形式收敛至长期均值的期限结构，无法得到市场上常见的那种有峰的波动率期限结构。比如，2个月期限的波动率比1个月和3个月期限的波动率都要高。这就说明GARCH模型并不适用于期权市场。
1703563677
1703563678
1703563679
1703563680
1703563681
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562362]
1703563682
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 极大似然估计
1703563683
1703563684
通常，当交易员或者风控经理在使用EWMA模型时，他们会凭直觉确定平滑参数λ。其实对于GARCH模型，我们也可以这样做，仅凭直觉确定参数。但是，那些相信波动过程服从GARCH模型的人通常不会这么做，相反，他们会用极大似然估计来估计GARCH过程的参数（这通常是反对使用GARCH模型的一个理由：GARCH依赖于过去的信息拟合模型的参数，因此会受到参数曲线拟合的限制。更确切地说，模型本身没有什么问题，但实施起来可能会遇到问题）。
1703563685
1703563686
极大似然估计（MLE）是用来对概率分布的参数进行估计的方法。似然和概率是两个不同的概念。概率是指某一未来事件可能发生的概率，而似然只是针对过去发生的事件。MLE是指在参数可能取值的范围内，选取一个参数，使得最终观察到的样本所出现的概率最大。
1703563687