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用一个常见的例子进行说明，即估计城市中的出租车数量。假设我们仅知道所有出租车都有唯一的编号，而且编号连续排序，中间没有间隔。如果我们碰到的第一辆出租车的编号是2028，那么MLE估计应该是什么呢？显然出租车的数量不可能小于2028。回忆一下刚才提到的MLE是寻求一个参数来最大化所能观察到的事件发生的可能性。在这个例子中，如果出租车的数量正好为2028，那么正好撞见这辆车的概率为1/2028。如果存在更多的车，那么我们碰到这辆车的概率会更小。所以MLE的估计就是2028。需要注意的是，这虽然是我们的最优估计，但是可能和真实值相差甚远（可能一共有10000辆出租车），但是MLE能够让我们充分使用已有的信息。
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再举一个更有意义的例子，虽然可能还是有点不自然的感觉。假设我们将硬币抛10次。我们并不知道这枚硬币是否均匀。实际上假设有三种硬币，第一种硬币头朝上的概率为1/3，第二种头朝上的概率为1/2，第三种头朝上的概率为2/3。如果在试验中得到6次头朝上的结果，我们最有可能使用的是哪种硬币呢？
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用p表示抛出头朝上的概率（暂时未知），因此得到头朝下的概率便为1-p。抛硬币的结果可以用二项分布来描述。所以投掷N次后得到h次头朝上结果的概率为：
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所以有：
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所以在这个例子里，我们最有可能使用的是头朝上概率为2/3的硬币。
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这是在离散分布的条件下使用MLE的例子。连续分布下的推理过程与此类似。
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GARCH（1，1）模型的似然函数如下：
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通常我们使用相应的对数似然形式：
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在使用一些股票价格序列来拟合GARCH（1，1）模型后，读者可能会发现一个问题：由于对数似然函数很平坦，求解算法在拟合时可能会碰到困难，即当参数的变化范围比较大时，似然值可能仅仅发生很小的变化。这个问题可以通过被称为方差定位（variance targeting）的方法来解决，其实就是把omega项设定成样本的无条件方差与1-α-β的乘积，然后在拟合时仅仅改变α和β项。
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然而，如果想在更大范围内使用GARCH模型，那么就有必要使用更复杂的数量方法。这样也可以得到关于模型拟合优度的统计量。有很多原因都会使模型对数据拟合的效果不太好，这些原因包括：
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·数据不足。通常需要至少1000个数据点。如果只有较少的数据，那么可能只能得到“看上去是对的”的参数。这一问题并没有看上去那么严重。例如，这就是使用EWMA方法时的典型做法。它与主观选择度量收盘价–收盘价波动率的窗口长度没有什么不同。
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·参数的初始值设置得不好。
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·数据中存在持续的季节性。在使用日内数据时，这是一个较为常见的问题，所得到的波动率会存在持续的季节性。日频数据应该是使用GARCH模型的天然时间尺度。
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·错误的模型。数据和所选择的模型不匹配！特别地，收益率分布中的厚尾可能并不是来自GARCH效应，因此在我们的GARCH模型中使用正态分布就完全没法体现这个问题。
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计量经济学家构建了大量的模型来解决上面列出的最后一个问题。我在这里仅列举一些常见的模型，虽然这只是一小部分。事实上，从最初Engle（1982）的工作开始至今，大量不同版本的模型被开发出来[1]。有篇文章就曾经对330多个模型进行了比较测试（Hansen和Lunde，2005）。
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·EGARCH：指数GARCH。该模型是对对数方差进行建模。这意味着它能处理非对称的情况，因为负面冲击和正面冲击对股价的影响并不一样（Nelson，1991）。
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