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所以有：
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所以在这个例子里，我们最有可能使用的是头朝上概率为2/3的硬币。
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这是在离散分布的条件下使用MLE的例子。连续分布下的推理过程与此类似。
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GARCH（1，1）模型的似然函数如下：
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通常我们使用相应的对数似然形式：
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在使用一些股票价格序列来拟合GARCH（1，1）模型后，读者可能会发现一个问题：由于对数似然函数很平坦，求解算法在拟合时可能会碰到困难，即当参数的变化范围比较大时，似然值可能仅仅发生很小的变化。这个问题可以通过被称为方差定位（variance targeting）的方法来解决，其实就是把omega项设定成样本的无条件方差与1-α-β的乘积，然后在拟合时仅仅改变α和β项。
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然而，如果想在更大范围内使用GARCH模型，那么就有必要使用更复杂的数量方法。这样也可以得到关于模型拟合优度的统计量。有很多原因都会使模型对数据拟合的效果不太好，这些原因包括：
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·数据不足。通常需要至少1000个数据点。如果只有较少的数据，那么可能只能得到“看上去是对的”的参数。这一问题并没有看上去那么严重。例如，这就是使用EWMA方法时的典型做法。它与主观选择度量收盘价–收盘价波动率的窗口长度没有什么不同。
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·参数的初始值设置得不好。
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·数据中存在持续的季节性。在使用日内数据时，这是一个较为常见的问题，所得到的波动率会存在持续的季节性。日频数据应该是使用GARCH模型的天然时间尺度。
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·错误的模型。数据和所选择的模型不匹配！特别地，收益率分布中的厚尾可能并不是来自GARCH效应，因此在我们的GARCH模型中使用正态分布就完全没法体现这个问题。
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计量经济学家构建了大量的模型来解决上面列出的最后一个问题。我在这里仅列举一些常见的模型，虽然这只是一小部分。事实上，从最初Engle（1982）的工作开始至今，大量不同版本的模型被开发出来[1]。有篇文章就曾经对330多个模型进行了比较测试（Hansen和Lunde，2005）。
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·EGARCH：指数GARCH。该模型是对对数方差进行建模。这意味着它能处理非对称的情况，因为负面冲击和正面冲击对股价的影响并不一样（Nelson，1991）。
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·GJR-GARCH：这是另一个非对称模型。该模型通过一个附加项来体现有向下冲击的情况（Glosten、Jagannathan和Runkle，1993）。
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·IGARCH：整合的GARCH模型。该模型给参数增加了更多的约束条件，使得α和β加起来为1。
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·TGARCH：门限GARCH模型。该模型用一个附加项来体现负的冲击，它同样允许非对称的情况。
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·AGARCH：绝对值GARCH模型。该模型直接对波动率建模，而不是对方差建模（Taylor，1986；Schwert，1989）。