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所以有：
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如果注意到如下的结论：
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便能得到：
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通过迭代可以得出：
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通过式（4-9）可以推出波动率预测的期限结构。图4-2便给出了一个波动率期限结构的示例，这是在微软股票的日收益率序列上应用GARCH（1，1）模型，相应的时间区间为2003年5月21日到2007年5月21日。GARCH（1，1）参数的估计结果分别为ω=0.00000505，α=0.053，β=0.884。
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图4-2 由GARCH（1，1）模型预测的波动率期限结构（微软，2007年5月21日）
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GARCH模型只能得到以指数形式收敛至长期均值的期限结构，无法得到市场上常见的那种有峰的波动率期限结构。比如，2个月期限的波动率比1个月和3个月期限的波动率都要高。这就说明GARCH模型并不适用于期权市场。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562362]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 极大似然估计
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通常，当交易员或者风控经理在使用EWMA模型时，他们会凭直觉确定平滑参数λ。其实对于GARCH模型，我们也可以这样做，仅凭直觉确定参数。但是，那些相信波动过程服从GARCH模型的人通常不会这么做，相反，他们会用极大似然估计来估计GARCH过程的参数（这通常是反对使用GARCH模型的一个理由：GARCH依赖于过去的信息拟合模型的参数，因此会受到参数曲线拟合的限制。更确切地说，模型本身没有什么问题，但实施起来可能会遇到问题）。
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极大似然估计（MLE）是用来对概率分布的参数进行估计的方法。似然和概率是两个不同的概念。概率是指某一未来事件可能发生的概率，而似然只是针对过去发生的事件。MLE是指在参数可能取值的范围内，选取一个参数，使得最终观察到的样本所出现的概率最大。
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用一个常见的例子进行说明，即估计城市中的出租车数量。假设我们仅知道所有出租车都有唯一的编号，而且编号连续排序，中间没有间隔。如果我们碰到的第一辆出租车的编号是2028，那么MLE估计应该是什么呢？显然出租车的数量不可能小于2028。回忆一下刚才提到的MLE是寻求一个参数来最大化所能观察到的事件发生的可能性。在这个例子中，如果出租车的数量正好为2028，那么正好撞见这辆车的概率为1/2028。如果存在更多的车，那么我们碰到这辆车的概率会更小。所以MLE的估计就是2028。需要注意的是，这虽然是我们的最优估计，但是可能和真实值相差甚远（可能一共有10000辆出租车），但是MLE能够让我们充分使用已有的信息。
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再举一个更有意义的例子，虽然可能还是有点不自然的感觉。假设我们将硬币抛10次。我们并不知道这枚硬币是否均匀。实际上假设有三种硬币，第一种硬币头朝上的概率为1/3，第二种头朝上的概率为1/2，第三种头朝上的概率为2/3。如果在试验中得到6次头朝上的结果，我们最有可能使用的是哪种硬币呢？
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用p表示抛出头朝上的概率（暂时未知），因此得到头朝下的概率便为1-p。抛硬币的结果可以用二项分布来描述。所以投掷N次后得到h次头朝上结果的概率为：
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