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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562364]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 方差溢价
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在对波动率进行预测时，我们通常会发现隐含波动率等于或显著大于预测波动率。BSM中隐含波动率的估计一般是上偏的。例如，预测值比目前的隐含波动率低30%的情况并不鲜见，但是反过来的情况却难以见到。这里有几个明显的原因。
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·在卖出隐含波动率时，我们其实是在卖出保险。因此，其中会有一个风险溢价。
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·有些完全合理的事情虽然从未发生过，但在将来可能会发生。如果我们只根据历史数据预测，这些情况就并没有被考虑进去。
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·市场微观结构助长了隐含波动率偏高这一现象。因为对做市商而言，大部分的利润来自期权的买卖价差。他们会刻意地把报价提高一点来保护其业务。在本质上，他们和其他审慎的商业机构一样，是在购买保险（保持少量的波动率多头敞口，尤其是在向下的方向）。
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Bakshi和Madan（2006）开发了一个模型来帮助我们预测价差会在何时变得特别高或特别低。在他们的理论中，风险中性波动率和实体波动率（physical volatility）之间的差异与更高阶的收益率矩有关。当交易员是风险厌恶型时，他们预测波动率价差为正，此时实体分布是负偏和厚尾的。
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在这样的情况下，他们假设了一个幂效用函数：
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这可以推导出下列的波动率价差（实际上是用方差来定义的）和实体分布（physical distribution）矩之间的近似关系：
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利用这个公式，交易员可以在给定的风险厌恶水平下，确定特定的价差是高于还是低于某个相对基准。
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让我们来看一个例子。在2012年8月3日，我预测了SPY和EEM的实体矩，如表4-2所示。
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表4-2 SPY和EEM的收益率矩估计值（2012年8月3日）
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在这一天，SPY和EEM的9月平值期权的隐含波动率分别为0.156和0.225。根据式（4-18），SPY的波动率价差所隐含的风险厌恶系数为6.4。如果我们把它视为市场的风险厌恶系数估计值，并假设其在所有指数中都保持不变，那么EEM的隐含波动率就应该为0.221。在这样的情况下可以看到，错误定价的相对度是非常类似的。
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我们在第5章中看到，偏度和峰度的估计值是有噪声的。我们的估计值可能并不足以区分这些细微区别，比如用这个模型来确定哪个指数的波动率更大。不过，我们可以用这个理论来理解期权市场隐含着那些没有在历史价格序列中体现出的未来的大幅波动。
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当期权卖家变得更风险厌恶时，价差会变得更大，这很容易理解，因为他们会要求更多的溢价来补偿他们的恐惧。同理，价差在高阶矩上会变得更宽，这是因为所有期权都是暴露于该实体分布的全部矩中。
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不过，这个模型并不符合这一事实：价差（以百分数的形式表示）会在波动率指数（VIX）上涨时变窄，至少对于标准普尔500是如此。表4-3显示了1990年1月至2012年5月不同VIX水平下的百分比波动率价差。
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表4-3 波动率溢价与VIX水平的关系
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直观上，高VIX水平可被视为对风险厌恶程度的度量，但这明显不是该模型所考虑的。显然，真实市场是复杂的，任何时间都会有许多效应在起作用，并且它们可能会相互冲突。当波动率水平很高时，交易员预期均值回复会成为主导效应，从而驱动价差变小，而这一效应并没有包含在Bakshi和Madan（2006）的模型中。
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