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非正式的定义
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当一个时间序列在达到最高点后下降,在达到最低点后上升时,那么它就是均值回复的。
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这个定义从直观上看较有吸引力。我们所需要做的就是观察序列,找出极端值,然后观察随后的序列是否在极值附近回复。根据这一思路,股市在20世纪80年代初显然是被低估了,在1987年中期则是被大幅高估了。遗憾的是,这个定义也是自我实现的。一个序列在其达到最大值之后都会变小,这永远是一个真理,适用于任何序列。我们需要拿出更多的东西来证伪。
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相对正式的定义
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如果一个时间序列回归后的随机误差项间存在负自相关性,那么它就是均值回复的。
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在这个定义下,某期低于平均值的收益率,会在后续期中高于平均值的收益率来作为补偿。基于这个定义,VIX就是均值回归的。VIX的日频自相关系数为-0.04,周频自相关系数为-0.21,月频自相关系数为-0.12。
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该模型可以简单地表示为:
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式中 R——t时刻的收益;
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ρ——自相关系数;
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μ——收益率均值;
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σ——收益率的波动率;
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Z——服从标准正态分布。
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这个过程的一个实例可以参考图5-6。
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现在将图5-6与图5-7相对比。
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虽然这并不能证明什么,但它显然表明均值回复模型可以套用在VIX上,至少在短期中是如此。
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图5-6 式(5-1)所描述的均值回复随机过程(μ=0,ρ=-0.2,σ=2.8)
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图5-7 VIX的周收益率(1990年)
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交易员的定义
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如果某个假设变化趋势会反转而不是持续的交易方法可以获利,那这个时间序列就是均值回复的。
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很多时间序列过程都符合这个定义。它比负自相关性假设要宽泛得多。一些经典的技术指标都可以用来构造这样的交易系统(请注意我们对技术分析的效果没有做任何假设,只是在这个特殊的情况里用来做测试)。
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