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若X1＞X2且σ（X1）＜σ（X2），即隐含波动率曲线向下倾斜。当我们计算该价差的损益时，已实现方差项就抵消了，因此我们得到：
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该结果一般为正（我们构建了一个正gamma的头寸，并同时可以获得theta）。
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黏性delta
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这条隐含波动率规律同样允许套利。考虑一个动态对冲、delta中性和风险逆转的头寸，如卖出虚值看跌期权，并买入虚值看涨期权。在黏性delta的假设下，如果合约标的价格上涨，两个期权的隐含波动率都会上升。不过，看涨期权现在会更接近于平值点，因此其vega会比看跌期权更大。所以看涨期权价值上涨的幅度会比看跌期权价值下跌的幅度更大。该组合就可以实现盈利。类似地，如果合约标的价格下跌，两个期权的价值都会下跌，卖出的看跌期权价值会下跌更多，因此该组合还是可以实现盈利。
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另一个观察黏性delta只在一个有限的条件下有用的方法，是我们在第3章中所看见的：当合约标的价格下跌时，已实现波动率正常情况下会上升，而这会使平值期权的隐含波动率也相应上升。黏性delta不会有这样的效应，它会让（不断变化的）平值期权的隐含波动率保持不变。强调这一现象的一个方法，就是让波动率曲线沿某个“支柱”或“路径”浮动。而该“支柱”或“路径”是行权价的减函数[1]，如图5-12所示。该路径的斜率可以通过将隐含波动率的历史变化与合约标的历史收益率进行回归来估计得到，不过这可能不会太有效。在实践中，交易员一般是用倾斜度来拟合当前的市场行为。
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图5-12 隐含波动率及其作为行权价的函数的支柱（切线）
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不管我们决定如何移动隐含波动率来匹配合约标的的变化，我们都应该将波动率的变化考虑进我们的delta。尽管delta的正式定义是期权价格相对于合约标的价格的偏微分，但交易员却主要用它来表示他们总的方向性风险敞口，即总的微分。
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因此，如果我们想用这个黏性delta范例，我们将需要修正BSM模型的delta，以确保维持方向中性。
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[1] 此处作者是指，当合约标的价格下跌时，隐含波动率会上升。为了强调这一点，就假设波动率曲线会沿着过平值点的切线移动。由于隐含波动率的变化方向与合约标的相反，所以该切线是行权价的减函数（即斜向下）。——译者注
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562369]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 波动率微笑的动态变化
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这里我们来研究一下波动率微笑的性质。刚才提到，波动率微笑没有波动率的水平那么重要。这虽然是事实，但它也不是完全微不足道。一些学术研究表明，如果交易成本足够小，那么微笑效应还是有利可图的（例如，Goncalves和Guidolin，2005；Jha和Kalimipalli，2006）。此外，为了找到交易的最佳行权价，所有的交易员都需要监测并理解波动率微笑。波动率微笑对有着许多不同行权价的产品更重要。正因为如此，才有可能构造出将偏度（比率价差和风险逆转）和峰度（蝶式价差和鹰式价差）相分离的交易策略。波动率微笑对于那些能够撮合多条腿的交易而不用承担全部买卖价差的做市商而言，也有很重要的意义。
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波动率微笑现象主要是由以下原因产生的（这个列表只列举了一部分相对重要的原因）。
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·在许多产品中，典型的最终用户都是做多的，因而会偏向于购买具有下侧保护作用的产品。
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·在权益类产品中，多头会倾向于卖出与其股票多头头寸相反的看涨期权。
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·在权益类证券中，行权价更高的期权相对于平值期权所存在的溢价，往往预示着公司有可能被收购（显然这点和上一点对曲线的影响会有相互作用，哪一点的作用更强就取决于具体的产品和时间了）。
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·如果客户买入看跌期权并卖出看涨期权，那么做市商就会相应地卖出看跌期权以及买入看涨期权。通常客户不会去对冲头寸（期权本身就是他们的对冲工具了），但做市商会去，而且其中至少有一部分是动态对冲的。如果市场下跌，与卖出看跌期权的方向一致，受对冲的影响，标的股票的波动率就会增加。如果市场上涨，与买入看涨期权的方向一致，相反的情况也会发生（对冲会降低股票的波动率）。从这个意义上来说，波动率微笑其实是对“波动率水平取决于合约标的价格水平”这一自我实现过程的预言。
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·在权益类产品中，指数的偏度要更强于其成分股的偏度。指数的波动率σ与其成分股的波动率σi是相关的：