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式中 wi——各成分股的权重;
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ρij——各成分股之间的相关系数。
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从式(5-9)可以看出,有两种方式可以让指数的波动率上涨:要么是各成分股的波动率上涨,要么是成分股之间的相关系数变大。
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式(5-9)同时适用于已实现波动率和相关性以及隐含波动率和相关性。所以指数的隐含波动率还包括了一个隐含相关性的作用。即使指数所有成分股的波动率曲面都是平的,只要相关性会随着资产价格变化而上升,那指数波动率曲面依然会出现“微笑”的现象。而市场通常都认为,股票间的相关性确实会随着崩盘或者大幅下跌而上升。
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·合约标的的真实收益率均不服从正态分布。这些收益率的分布都受偏度和峰度的影响。
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除了最后一点外,这些原因都和隐含波动率市场的购买(或者抛售)压力有关,但这是很难预测的。在大部分市场中,它的净影响会趋向于达到均衡。也就是说,在一个特定的产品上,隐含波动率曲线会呈现出一个特定的形状,然后会基本保持这个形状(Hafner和Wallmeier,2000;Cont和da Fonseca,2002)。
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我们需要找到一个方法来量化“微笑”曲线的形状,这样就可以预测它偏离均衡水平的程度。到目前为止,我们讨论的都不是偏度曲线应该是什么样的,而是讨论它通常是什么样的。
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在涉及更多技术之前,我想提一个非常简单的对波动率微笑进行参数化的方法。这让我们能够对波动率微笑进行比较,而且能够用来快速比较不同到期日的微笑。这个方法也可以用来比较同一类产品(如股票指数或政府债券)的微笑。我们使用期权的delta来参数化微笑,然后将每个特定月份的所有(不同行权价的)波动率除以相同月份的平值波动率。这样能够得到一个特别稳定的不随时间变化的曲线。我也不知道为什么会是这样的——它很可能正好也是做市商表示波动率微笑的工具。
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表5-3以QQQQ期权为例,显示了使用这种方法的惊人效果。事实上,由于波动率需要做一些插值以及受到买卖价差的影响,我们甚至可以认为在这种形式下,所有的月份都有着同样幅度的微笑。还不错的开局!但是这个方法还不能让我们比较隐含波动率和已实现波动率的属性。
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表5-3 QQQQ期权原始和调整后的隐含波动率与虚值delta之间的关系
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注:某delta 的调整波动率,即用该月份的原始波动率除以平值波动率,如10月delta=10时的调整波动率=35.8/24.4=1.47。——译者注
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与我们之前给期权定价的方法类似,我们后续将着手解决这一问题。一开始我们认为,期权仅与合约标的价格变动的平方有关,这个观点引导我们使用波动率来给期权定价,但我们并没有采用股票价格的绝对变动幅度来研究这个问题。之所以使用波动率,是因为它可以让我们对两个价格不同的合约标的进行比较。现在我们意识到,仅仅有波动率是不够的,我们的研究过程还不够具体,需要扩展BSM模型,从而将偏度和峰度的影响也纳入模型中。
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偏度是样本期望的三阶中心矩,它通过标准差来进行标准化。
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式(5-10)和式(2-1a)的形式很像。如果分布是对称的,那偏度就会是0(所以,正态分布的偏度为零)。如果分布的左尾比右尾更厚,那么这个分布的偏度就为负值。反之,偏度就为正值。当样本的规模为N时,得到的偏度估计量的方差为:
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将峰度定义为标准化后的样本四阶中心矩:
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这是一个描述分布尾部肥硕程度的指标。标准正态分布的峰度为3。峰度值大于3的分布为尖峰分布(leptokurtic),金融领域涉及的分布几乎都是尖峰分布。峰度值小于3的分布为低峰分布(platykurtic)。基于这个定义,正态分布的峰度恰好为3,我们有时候也使用超额峰度的概念,即峰度值减去3。容易引起混淆的是,有些作者直接把这个概念误认为是峰度的定义。微软Excel中计算峰度的公式KURT,实际上计算的就是超额峰度。
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当样本的规模为N时,得到的峰度估计量的方差为:
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