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式中 wi——各成分股的权重；
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ρij——各成分股之间的相关系数。
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从式（5-9）可以看出，有两种方式可以让指数的波动率上涨：要么是各成分股的波动率上涨，要么是成分股之间的相关系数变大。
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式（5-9）同时适用于已实现波动率和相关性以及隐含波动率和相关性。所以指数的隐含波动率还包括了一个隐含相关性的作用。即使指数所有成分股的波动率曲面都是平的，只要相关性会随着资产价格变化而上升，那指数波动率曲面依然会出现“微笑”的现象。而市场通常都认为，股票间的相关性确实会随着崩盘或者大幅下跌而上升。
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·合约标的的真实收益率均不服从正态分布。这些收益率的分布都受偏度和峰度的影响。
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除了最后一点外，这些原因都和隐含波动率市场的购买（或者抛售）压力有关，但这是很难预测的。在大部分市场中，它的净影响会趋向于达到均衡。也就是说，在一个特定的产品上，隐含波动率曲线会呈现出一个特定的形状，然后会基本保持这个形状（Hafner和Wallmeier，2000；Cont和da Fonseca，2002）。
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我们需要找到一个方法来量化“微笑”曲线的形状，这样就可以预测它偏离均衡水平的程度。到目前为止，我们讨论的都不是偏度曲线应该是什么样的，而是讨论它通常是什么样的。
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在涉及更多技术之前，我想提一个非常简单的对波动率微笑进行参数化的方法。这让我们能够对波动率微笑进行比较，而且能够用来快速比较不同到期日的微笑。这个方法也可以用来比较同一类产品（如股票指数或政府债券）的微笑。我们使用期权的delta来参数化微笑，然后将每个特定月份的所有（不同行权价的）波动率除以相同月份的平值波动率。这样能够得到一个特别稳定的不随时间变化的曲线。我也不知道为什么会是这样的——它很可能正好也是做市商表示波动率微笑的工具。
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表5-3以QQQQ期权为例，显示了使用这种方法的惊人效果。事实上，由于波动率需要做一些插值以及受到买卖价差的影响，我们甚至可以认为在这种形式下，所有的月份都有着同样幅度的微笑。还不错的开局！但是这个方法还不能让我们比较隐含波动率和已实现波动率的属性。
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表5-3 QQQQ期权原始和调整后的隐含波动率与虚值delta之间的关系
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注：某delta 的调整波动率，即用该月份的原始波动率除以平值波动率，如10月delta=10时的调整波动率=35.8/24.4=1.47。——译者注
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与我们之前给期权定价的方法类似，我们后续将着手解决这一问题。一开始我们认为，期权仅与合约标的价格变动的平方有关，这个观点引导我们使用波动率来给期权定价，但我们并没有采用股票价格的绝对变动幅度来研究这个问题。之所以使用波动率，是因为它可以让我们对两个价格不同的合约标的进行比较。现在我们意识到，仅仅有波动率是不够的，我们的研究过程还不够具体，需要扩展BSM模型，从而将偏度和峰度的影响也纳入模型中。
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偏度是样本期望的三阶中心矩，它通过标准差来进行标准化。
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式（5-10）和式（2-1a）的形式很像。如果分布是对称的，那偏度就会是0（所以，正态分布的偏度为零）。如果分布的左尾比右尾更厚，那么这个分布的偏度就为负值。反之，偏度就为正值。当样本的规模为N时，得到的偏度估计量的方差为：
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将峰度定义为标准化后的样本四阶中心矩：
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这是一个描述分布尾部肥硕程度的指标。标准正态分布的峰度为3。峰度值大于3的分布为尖峰分布（leptokurtic），金融领域涉及的分布几乎都是尖峰分布。峰度值小于3的分布为低峰分布（platykurtic）。基于这个定义，正态分布的峰度恰好为3，我们有时候也使用超额峰度的概念，即峰度值减去3。容易引起混淆的是，有些作者直接把这个概念误认为是峰度的定义。微软Excel中计算峰度的公式KURT，实际上计算的就是超额峰度。
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当样本的规模为N时，得到的峰度估计量的方差为：
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