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图5-16 偏度/峰度的取值范围，预设着Gram-Charlier展开是一种概率密度
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在不是很离奇的情景下，我们也有可能计算得到负的期权价格。例如，假设合约标的的价格为50，距离行权日还有50天，利率为5%，波动率为50%，偏度为-0.7，峰度为0，对于一个行权价为65的看涨期权，我们得到的期权价格是-0.21。为避免期权价格出现负值，Rubinstein（1998）对偏度/峰度的取值范围进行了估计。Jondeau和Rockinger（1999，2001）采用Barton和Dennis（1952）的方法推导出偏度/峰度的取值范围，在这个区域内Gram-Charlier展开为正数时，如图5-16所示。该图表明，要保证由Gram-Charlier展开得到的期权价格为正，收益率分布不能偏离正态分布太大。
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Corrado和Su的模型只能直接用于欧式期权的定价上，但是要用于美式期权也很简单。只要把同样的思路用于构造树，再将美式期权（或者更通用的其他期权）的边界条件加上去便可。这个想法首先是由Rubinstein（1998）提出的，他是从Edgeworth展开式入手进行研究的。Haug（2007b）对Edgeworth和Gram-Charlier树都提供了代码。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562370]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 期限结构的动态变化
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做市商通常对存续期较短的期权的指令流和风险最为关心，这是对他们所掌握资源的合理利用。这些期权不仅是成交量最大的，还是通过交易能很快改变整个市场风险轮廓的期权。不过，做市商对当月期权的这种关心可能会给其他交易员带来好的交易机会。
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由于波动率是均值回复的，因此我们会预期近月期权隐含波动率的变化幅度会比远月合约略微更小一些。不过，在实践中，远月合约隐含波动率的变化幅度会比理性预期模型所预示的大得多：它们会过度反应。
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最早发现这一效应的是Stein（1989），但它在20年之后依然存在。这让我们意识到，做市商行为中交易执行的具体方法存在一些心理成分。在这段时间里，波动率曲面的调整和风险管理发生了显著的变化。
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他假设长期隐含波动率为短期隐含波动率和未来短期隐含波动率的期望值的平均值。特别的：
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（5-22）
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式中 σl——长期隐含波动率；
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σs——短期隐含波动率；
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——未来时刻t+Δt时的短期隐含波动率；
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〈σ〉——长期平均隐含波动率。
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通过取期望和调整项，我们得到：
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这样，我们就可以通过回归期限结构的斜率上的预测误差[式（5-23）中的第一项]来判断隐含波动率期限结构中的错误反应。根据理性预期，该预测项应该只有噪声。Stein发现并不是这样。
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在发现预测项存在系统性偏差后，他假设瞬时波动率服从AR（1）过程。接着他发现，与近月和远月波动率水平相关的比例常数非常高，其理论值在0.85附近，而实际值却在0.95附近。因此对于较短存续期期权的变动，远月波动率会显著地过度反应。
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Stein并没有对该结构的实际应用进行过多描述。他举了个当长期平均波动率为0.15、近月隐含波动率为0.25时的例子。此时的比例常数为0.85，长存续期期权的隐含波动率应该为0.15+0.85×（0.25-0.15）=0.235，但如果期权市场所使用的常数为0.95，那长存续期期权的隐含波动率就会为0.245。1989年，这样的差异并没有交易的价值，但在2012年，它就有了。
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