1703564499
指数效用函数是一个常用的效用函数，其公式如下：
1703564500
1703564501
1703564502
1703564503
1703564504
这个效用函数的特点是：它具有恒定的绝对风险厌恶值，为r=γ，它与财富拥有量W无关。
1703564505
1703564506
让我们通过一个例子来了解如何确定风险承受程度。首先我们通过回答一系列问题，来找到各种服从正态分布的风险结果所对应的确定性等价量。
1703564507
1703564508
假设未来财富分布的均值为μ，标准差为σ。例如，μ=$10000和σ=$2000。
1703564509
1703564510
那么有：
1703564511
1703564512
1703564513
1703564514
1703564515
1703564516
1703564517
1703564518
所以确定性等加量W0等于：
1703564519
1703564520
1703564521
1703564522
1703564523
改写此式可以得到风险厌恶系数γ的表达式如下：
1703564524
1703564525
1703564526
1703564527
1703564528
现在假设对于交易员来说，这样的一个财富分布与一个固定的$8000财富是无差别的，也即W0=$8000，因此可以得到：
1703564529
1703564530
1703564531
1703564532
1703564533
我们可以对不同的财富水平和不同的分布重复这个过程，但是发现结果会相差很大。现实中的交易员往往难以使其风险偏好保持一致。这种不一致性既会随着前后时间的变化而变化，也会随着风险财富数额的变化而发生。许多行为金融学家的研究也直接指出了这个问题（Kahneman和Tversky，1979；Barberis等，2001）。
1703564534
1703564535
由于这个问题以及一些其他原因，经济学中对效用函数的使用提出了一些批评（Mirowski，1989；McCauley，2004）。然而我们无须过分担心，因为在使用BSM的过程中，效用函数仅仅是作为一个思考框架而已。交易员可能永远都不知道他的效用函数具体是什么，或者他的风险厌恶系数会如何变化，但是他可以知道自己喜欢更多还是更少的风险，明白自己是不是属于风险厌恶型。如果能达到这些目的，那就足够了。
1703564536
1703564537
Hodge和Neuberger（1989）意识到BSM其实是对期权复制策略而不是期权本身进行定价。这两者之间可能看似没什么区别，但其实相差了一个交易成本。事实上，第一个把交易成本考虑到定价模型中的是Leland（1985）。他把对冲成本以调整波动率的形式引入期权定价结果中。然而，依照他的公式，交易员仍然需要不断地调整对冲头寸。所以这个方法并没有解决最佳对冲时点的问题。
1703564538
1703564539
Hodges和Neuberger论文中最重要的观点是：存在一个临界点，能够使得期权交易员认为（从效用的角度）持有未完全对冲头寸带来的风险与进行完全对冲导致的成本是无差别的。如果我们能确定风险厌恶的水平，那对冲到这个临界点的策略就是最优的。他们通过最大化指数效用函数的方法来阐述这个问题。后来有研究证明（Davis等人，1993年；Andersen和Damgaard，1999），这个问题的解其实与效用函数的具体形式是不相关的。正如上文关于效用理论文本框中所提到的，我们有理由怀疑任何不具备这个特点的结果。
1703564540
1703564541
量化这个问题的数学方法已经超出了本书的范围，而且遗憾的是，最终得到的定价公式并没有解析解，需要进行数值求解，而且即使是数值解，也不是那么简单，其中所需的计算量是相当耗时的。用Hodges-Neuberger（HN）方法来指导实时对冲并不现实。
1703564542
1703564543
但是由于这是一个最优解，因此了解它的特点还是很有必要的。图6-3和图6-4分别展示了一个看涨期权多头和看涨期权空头的对冲区间。当我们头寸的delta移出这个对冲区间时，才需要通过对冲来把delta带回到对冲区间内（这个结论成立的前提是我们假设期权交易的对手方没有能力判断合约标的的变化方向。有些证据表明，期权客户或多或少都有一些合约标的的信息。在这种情况下，我们应该立即将任何新的期权交易的delta值对冲至BSM的delta。随后的delta再平衡对冲就可以依照HN模式，而且只在delta出了对冲区间时才进行。除非你非常明确期权客户的方向性交易能力，包括交易量和在市场中的持续时间，否则对初始交易进行过度对冲可能不是个好方法，因为此时会面临和交易对手相同方向标的价格的方向性风险，而了解交易对手的交易能力就要靠充分的分析了）。图中这个例子所选择的参数不是特别切合实际，但是可以清楚地看出这个方法的特点。我们挑选了波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
1703564544
1703564545
1703564546
1703564547
1703564548
图6-3 看涨期权多头的最优对冲区间与BSM的delta（虚线）之间的关系