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图6-4 看涨期权空头的最优对冲区间与BSM的delta（虚线）之间的关系
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有几点是显而易见的。首先，空头和多头要区别对待，用不同的方法来对冲。空头的对冲区间要更窄一些，也就是说，我们对空头头寸的对冲需要更保守一点。因为空头头寸需要承担时间衰减，所以我们调整delta的机会相对较少。相反，当对冲期权多头头寸时，我们要“让delta跑起来”。有趣的是，这和交易员之间流传的口诀是一致的。
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从另一个角度来看，这个结论成立的原因是：多头头寸的对冲者和空头头寸的对冲者所观察到的波动率水平是不一致的。当合约标的价格创新高时，持有gamma空头的对冲者将倾向于购买合约标的。这样的话，他会把合约标的交易价格推得更高，因为他要以卖出价（ask）执行交易。相反，卖出资产的一方（gamma多头的对冲者倾向于卖出合约标的）却以比当前的最高报价稍微低一些的买入价（bid）执行交易，诸如这样的买卖价差的累积效应，意味着空头和多头头寸持有者需要应对的波动率水平是不一致的。
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这就是Leland的中心结论。他证明了调整后的期权多头头寸的波动率为：
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式中 λ——按比例计算的交易成本；
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Δt——每次调整平衡之间的时间间隔。
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对于期权空头头寸，调整后的波动率为：
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尽管交易员并不会明确地使用Lenland的结果来确定对冲策略，但它们是非常重要的结论。在进行期权交易之前，我们需要大致了解多少利润会消耗在累积的delta对冲上面。这部分影响可能会非常可观，尤其是对低波动率、低流动性的股票而言。例如，假设一份期权的公允波动率为10%，买卖价差为1%，如果每天进行再平衡对冲，就需要至少以15.9%的隐含波动率卖出期权，才能够弥补这些对冲成本。
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另外，最优delta区间并未完全覆盖BSM中的delta。在交易成本存在的情况下，由BSM得到的完美对冲头寸量是需要进行调整的。这和Leland的观察也是一致的，即当虚值期权遇到更高波动率的时候，由于期权的delta受波动率水平的影响，真实的delta水平会更高一些。同样地，实值期权的真实delta则会更低一些。这就导致了对冲区间是以S形调整后的delta为中心的，而不是以BSM的delta为中心的。
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前面的分析都是针对欧式期权的，但是大致的思想也可以拓展至美式期权。这与BSM模型类似，偏微分方程是一般性的，但求解的具体方法还要取决于具体的边界条件。这个要点也同样适用于我们研究的其他模型。通常情况下，我们可以预期美式期权的结果和欧式期权是相似的（在大多数例子里，美式期权都可以用欧式期权的思路去思考）。
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虽然无法从图6-3和图6-4中观察到，但是这个模型的重要特征是：对冲区间的宽度取决于风险厌恶系数。高风险厌恶系数意味着交易员只能承受少量的风险。所以他想要收紧对冲区间，从而会频繁地进行对冲。相反，风险厌恶系数小的交易员的对冲频率会更慢一些，他通过承担更多的风险来减少对冲成本。这些不同的选择并不存在好坏之分，也不能说明某个选择要比其他的更正确。对于所有的这些对冲方法，我们都要知道自己的风险厌恶系数是多少。一旦给定了这个系数，HN公式就能够告诉我们风险与收益的最优平衡是多少。
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Whalley和Wilmott的渐近解
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假设交易成本很小（相对于BSM中的期权价格而言），那么就有可能得到整个问题的一个近似解。这一结论是由Whalley和Wlimott首先得到的（1993，1994）。他们证明了非交易区间（no-transaction region）的边界满足如下的表达式：
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其中λ是按比例计算的交易成本，交易成本满足以下表达式：
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其中N是交易的股票总数。
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虽然Whalley和Wilmott只考察了对冲欧式看涨期权空头头寸的例子，但其实这个方法具有较好的通用性：该方法有许多让人满意的合理之处，可以用于大部分普通投资组合的对冲。图6-5展示了一个使用该方法进行对冲的对冲区间。它使用的例子是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
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