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现在假设对于交易员来说，这样的一个财富分布与一个固定的$8000财富是无差别的，也即W0=$8000，因此可以得到：
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我们可以对不同的财富水平和不同的分布重复这个过程，但是发现结果会相差很大。现实中的交易员往往难以使其风险偏好保持一致。这种不一致性既会随着前后时间的变化而变化，也会随着风险财富数额的变化而发生。许多行为金融学家的研究也直接指出了这个问题（Kahneman和Tversky，1979；Barberis等，2001）。
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由于这个问题以及一些其他原因，经济学中对效用函数的使用提出了一些批评（Mirowski，1989；McCauley，2004）。然而我们无须过分担心，因为在使用BSM的过程中，效用函数仅仅是作为一个思考框架而已。交易员可能永远都不知道他的效用函数具体是什么，或者他的风险厌恶系数会如何变化，但是他可以知道自己喜欢更多还是更少的风险，明白自己是不是属于风险厌恶型。如果能达到这些目的，那就足够了。
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Hodge和Neuberger（1989）意识到BSM其实是对期权复制策略而不是期权本身进行定价。这两者之间可能看似没什么区别，但其实相差了一个交易成本。事实上，第一个把交易成本考虑到定价模型中的是Leland（1985）。他把对冲成本以调整波动率的形式引入期权定价结果中。然而，依照他的公式，交易员仍然需要不断地调整对冲头寸。所以这个方法并没有解决最佳对冲时点的问题。
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Hodges和Neuberger论文中最重要的观点是：存在一个临界点，能够使得期权交易员认为（从效用的角度）持有未完全对冲头寸带来的风险与进行完全对冲导致的成本是无差别的。如果我们能确定风险厌恶的水平，那对冲到这个临界点的策略就是最优的。他们通过最大化指数效用函数的方法来阐述这个问题。后来有研究证明（Davis等人，1993年；Andersen和Damgaard，1999），这个问题的解其实与效用函数的具体形式是不相关的。正如上文关于效用理论文本框中所提到的，我们有理由怀疑任何不具备这个特点的结果。
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量化这个问题的数学方法已经超出了本书的范围，而且遗憾的是，最终得到的定价公式并没有解析解，需要进行数值求解，而且即使是数值解，也不是那么简单，其中所需的计算量是相当耗时的。用Hodges-Neuberger（HN）方法来指导实时对冲并不现实。
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但是由于这是一个最优解，因此了解它的特点还是很有必要的。图6-3和图6-4分别展示了一个看涨期权多头和看涨期权空头的对冲区间。当我们头寸的delta移出这个对冲区间时，才需要通过对冲来把delta带回到对冲区间内（这个结论成立的前提是我们假设期权交易的对手方没有能力判断合约标的的变化方向。有些证据表明，期权客户或多或少都有一些合约标的的信息。在这种情况下，我们应该立即将任何新的期权交易的delta值对冲至BSM的delta。随后的delta再平衡对冲就可以依照HN模式，而且只在delta出了对冲区间时才进行。除非你非常明确期权客户的方向性交易能力，包括交易量和在市场中的持续时间，否则对初始交易进行过度对冲可能不是个好方法，因为此时会面临和交易对手相同方向标的价格的方向性风险，而了解交易对手的交易能力就要靠充分的分析了）。图中这个例子所选择的参数不是特别切合实际，但是可以清楚地看出这个方法的特点。我们挑选了波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
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图6-3 看涨期权多头的最优对冲区间与BSM的delta（虚线）之间的关系
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图6-4 看涨期权空头的最优对冲区间与BSM的delta（虚线）之间的关系
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有几点是显而易见的。首先，空头和多头要区别对待，用不同的方法来对冲。空头的对冲区间要更窄一些，也就是说，我们对空头头寸的对冲需要更保守一点。因为空头头寸需要承担时间衰减，所以我们调整delta的机会相对较少。相反，当对冲期权多头头寸时，我们要“让delta跑起来”。有趣的是，这和交易员之间流传的口诀是一致的。
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从另一个角度来看，这个结论成立的原因是：多头头寸的对冲者和空头头寸的对冲者所观察到的波动率水平是不一致的。当合约标的价格创新高时，持有gamma空头的对冲者将倾向于购买合约标的。这样的话，他会把合约标的交易价格推得更高，因为他要以卖出价（ask）执行交易。相反，卖出资产的一方（gamma多头的对冲者倾向于卖出合约标的）却以比当前的最高报价稍微低一些的买入价（bid）执行交易，诸如这样的买卖价差的累积效应，意味着空头和多头头寸持有者需要应对的波动率水平是不一致的。
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这就是Leland的中心结论。他证明了调整后的期权多头头寸的波动率为：
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式中 λ——按比例计算的交易成本；
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Δt——每次调整平衡之间的时间间隔。
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对于期权空头头寸，调整后的波动率为：
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尽管交易员并不会明确地使用Lenland的结果来确定对冲策略，但它们是非常重要的结论。在进行期权交易之前，我们需要大致了解多少利润会消耗在累积的delta对冲上面。这部分影响可能会非常可观，尤其是对低波动率、低流动性的股票而言。例如，假设一份期权的公允波动率为10%，买卖价差为1%，如果每天进行再平衡对冲，就需要至少以15.9%的隐含波动率卖出期权，才能够弥补这些对冲成本。
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另外，最优delta区间并未完全覆盖BSM中的delta。在交易成本存在的情况下，由BSM得到的完美对冲头寸量是需要进行调整的。这和Leland的观察也是一致的，即当虚值期权遇到更高波动率的时候，由于期权的delta受波动率水平的影响，真实的delta水平会更高一些。同样地，实值期权的真实delta则会更低一些。这就导致了对冲区间是以S形调整后的delta为中心的，而不是以BSM的delta为中心的。
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