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前面的分析都是针对欧式期权的，但是大致的思想也可以拓展至美式期权。这与BSM模型类似，偏微分方程是一般性的，但求解的具体方法还要取决于具体的边界条件。这个要点也同样适用于我们研究的其他模型。通常情况下，我们可以预期美式期权的结果和欧式期权是相似的（在大多数例子里，美式期权都可以用欧式期权的思路去思考）。
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虽然无法从图6-3和图6-4中观察到，但是这个模型的重要特征是：对冲区间的宽度取决于风险厌恶系数。高风险厌恶系数意味着交易员只能承受少量的风险。所以他想要收紧对冲区间，从而会频繁地进行对冲。相反，风险厌恶系数小的交易员的对冲频率会更慢一些，他通过承担更多的风险来减少对冲成本。这些不同的选择并不存在好坏之分，也不能说明某个选择要比其他的更正确。对于所有的这些对冲方法，我们都要知道自己的风险厌恶系数是多少。一旦给定了这个系数，HN公式就能够告诉我们风险与收益的最优平衡是多少。
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Whalley和Wilmott的渐近解
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假设交易成本很小（相对于BSM中的期权价格而言），那么就有可能得到整个问题的一个近似解。这一结论是由Whalley和Wlimott首先得到的（1993，1994）。他们证明了非交易区间（no-transaction region）的边界满足如下的表达式：
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其中λ是按比例计算的交易成本，交易成本满足以下表达式：
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其中N是交易的股票总数。
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虽然Whalley和Wilmott只考察了对冲欧式看涨期权空头头寸的例子，但其实这个方法具有较好的通用性：该方法有许多让人满意的合理之处，可以用于大部分普通投资组合的对冲。图6-5展示了一个使用该方法进行对冲的对冲区间。它使用的例子是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
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图6-5 Whalley和Wilmott的渐近方法所得到的近似对冲区间与BSM的delta之间的关系
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·当交易成本降低的时候，对冲区间的宽度也会减小。事实上，当成本变为0时，对冲区间就变成了BSM的delta线。
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·当风险厌恶系数上升时，对冲区间的宽度会减小，这和完整的HN理论的结论一致。
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·这个策略可以简化为一个分析式，从而可以在Excel中实施。
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·这个方法也可以用于处理其他不同形式的交易成本。特别是它能够处理交易成本与交易股票数量成比例的情况，而不是像式（6-10）那样交易成本与交易股票价值成比例的情况。交易单成本（ticket charges）和经纪费用就是这样的例子。对于买卖价差（最主要的成本）是不是也应该用这种方式来建模也有争议。我们在本章稍后部分会讨论这一点。这个模型甚至还可以适用于一些不怎么合理的情况，比如成本为固定成本。有时候交易成本很高，以至于和交易量的大小都无关了，这时的成本就是固定成本。它可能会对散户造成影响，但对于一个半职业的交易员来说就没有什么关系了。
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遗憾的是，Whalley和Wilmott（WW）方法也有一些不足之处：
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·与完整的HN方法不同的是：gamma多头和gamma空头所对应的对冲区间的不对称现象消失了。渐近解的大小只和gamma绝对大小有关，而与gamma头寸方向无关。
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·对冲区间是以BSM的delta为中心的。完整的HN解决方法的另一个重要特性也消失了。
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在实际应用的过程中会遇到一个问题，如果交易员看到合约标的的价格开始波动或者震荡，通常他并不能确切地知道应该调整对冲模型的买卖价差还是波动率。对交易员来说，这两者的效果是一样的，即它们都使得对冲变得更加困难了，但是由此所产生的影响对这些模型（HN和WW）来说大为不同。对平值期权而言，增加波动率水平会降低gamma，从而使得对冲区间变窄，但是增加买卖价差（比例交易成本）会使得对冲区间变宽。我们应该如何处理在实际中面临的这一重要问题呢？这里面的差异其实是因为模型考虑了风险厌恶系数后才引起的。波动率是一个能够交易的量，它同时具有风险和收益两方面的特性。当波动率变高了，模型就告诉我们要规避最差的情况，需要更频繁地进行对冲。但买卖价差是一个纯成本项，没有收益的特性在里面。所以一旦买卖价差变大，模型就告诉我们要减少对冲次数，以降低反复交易的成本[1]。交易员需要意识到这些情况，并思考市场的变化到底属于哪一方面。波动率和交易成本是完全不同的（即使在完美的无摩擦市场中也存在着波动率），但第一眼看上去时，往往很难将它们区分开。
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虽然在许多市场上并不是那么可行，但如果要从统计上分别估计交易成本和波动率，那还是可行的。通过记录成交价格与之前交易价格的区别，我们可以估计出交易成本。这完全是个微观结构问题（对微观结构的理解因交易员而异。Fidelity基金对交易成本的理解会与NYMEX市场上原油期货做市商的理解完全不同）。波动率可以选择在一段有大量成交量的时间区间上进行。交易员应当选择与其交易数量相当的成交记录进行计算。
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类似于BSM模型，这些对冲模式不应该被认为是能够反映真实环境的。它们只是提供了一个一致并且系统地处理真实环境的框架。上面所提到的在实际应用中遇到的问题只是更加明确了这一事实。
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[1] 参见Johnny 对此的有用解释，www.nuclearphynance.com。
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