1703564601
1703564602
·当交易成本降低的时候，对冲区间的宽度也会减小。事实上，当成本变为0时，对冲区间就变成了BSM的delta线。
1703564603
1703564604
·当风险厌恶系数上升时，对冲区间的宽度会减小，这和完整的HN理论的结论一致。
1703564605
1703564606
·这个策略可以简化为一个分析式，从而可以在Excel中实施。
1703564607
1703564608
·这个方法也可以用于处理其他不同形式的交易成本。特别是它能够处理交易成本与交易股票数量成比例的情况，而不是像式（6-10）那样交易成本与交易股票价值成比例的情况。交易单成本（ticket charges）和经纪费用就是这样的例子。对于买卖价差（最主要的成本）是不是也应该用这种方式来建模也有争议。我们在本章稍后部分会讨论这一点。这个模型甚至还可以适用于一些不怎么合理的情况，比如成本为固定成本。有时候交易成本很高，以至于和交易量的大小都无关了，这时的成本就是固定成本。它可能会对散户造成影响，但对于一个半职业的交易员来说就没有什么关系了。
1703564609
1703564610
遗憾的是，Whalley和Wilmott（WW）方法也有一些不足之处：
1703564611
1703564612
·与完整的HN方法不同的是：gamma多头和gamma空头所对应的对冲区间的不对称现象消失了。渐近解的大小只和gamma绝对大小有关，而与gamma头寸方向无关。
1703564613
1703564614
·对冲区间是以BSM的delta为中心的。完整的HN解决方法的另一个重要特性也消失了。
1703564615
1703564616
在实际应用的过程中会遇到一个问题，如果交易员看到合约标的的价格开始波动或者震荡，通常他并不能确切地知道应该调整对冲模型的买卖价差还是波动率。对交易员来说，这两者的效果是一样的，即它们都使得对冲变得更加困难了，但是由此所产生的影响对这些模型（HN和WW）来说大为不同。对平值期权而言，增加波动率水平会降低gamma，从而使得对冲区间变窄，但是增加买卖价差（比例交易成本）会使得对冲区间变宽。我们应该如何处理在实际中面临的这一重要问题呢？这里面的差异其实是因为模型考虑了风险厌恶系数后才引起的。波动率是一个能够交易的量，它同时具有风险和收益两方面的特性。当波动率变高了，模型就告诉我们要规避最差的情况，需要更频繁地进行对冲。但买卖价差是一个纯成本项，没有收益的特性在里面。所以一旦买卖价差变大，模型就告诉我们要减少对冲次数，以降低反复交易的成本[1]。交易员需要意识到这些情况，并思考市场的变化到底属于哪一方面。波动率和交易成本是完全不同的（即使在完美的无摩擦市场中也存在着波动率），但第一眼看上去时，往往很难将它们区分开。
1703564617
1703564618
虽然在许多市场上并不是那么可行，但如果要从统计上分别估计交易成本和波动率，那还是可行的。通过记录成交价格与之前交易价格的区别，我们可以估计出交易成本。这完全是个微观结构问题（对微观结构的理解因交易员而异。Fidelity基金对交易成本的理解会与NYMEX市场上原油期货做市商的理解完全不同）。波动率可以选择在一段有大量成交量的时间区间上进行。交易员应当选择与其交易数量相当的成交记录进行计算。
1703564619
1703564620
类似于BSM模型，这些对冲模式不应该被认为是能够反映真实环境的。它们只是提供了一个一致并且系统地处理真实环境的框架。上面所提到的在实际应用中遇到的问题只是更加明确了这一事实。
1703564621
1703564622
[1] 参见Johnny 对此的有用解释，www.nuclearphynance.com。
1703564623
1703564624
1703564625
1703564626
1703564627
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562375]
1703564628
波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） Zakamouline的双渐近解
1703564629
1703564630
两个相对简单的交易成本模型分别是由Leland和Whalley及Wilm-oott提出的。它们都可以被视为Hodges和Neuberger模型的特例：Leland阐述了当处于风险中性状态时，如何在有交易成本的情况下复制一个期权。Whalley和Wilmott考虑了风险厌恶的情况，但是认为交易成本比较小。
1703564631
1703564632
这些模型使用起来均较为简单，而且相对于那些非系统的对冲方法有了大幅提高，但是它们忽略了一些完整HN模型中很有价值的因素。更为关键的是，一些较为严谨的数值仿真结果表明，这些近似方法与完整方法相比，性能上会差很多。换句话说，在一个既定的交易成本水平上，使用WW模型对冲的投资组合会比使用HN模型对冲的组合面临更多的波动（这其实不能算作批评的意见。很明显，近似的模型效果不会有完整模型那么好）。
1703564633
1703564634
Zakamouline（2006a，2006b和2006c）研究了基于效用的对冲策略的特性（尤其是上面列出的几个要点），并提出了一个对冲策略公式，它能够保持HN模型最重要的特性。这项研究也曾经由Risher（2004）独立地提出过。这个对冲区间具有以下形式：
1703564635
1703564636
1703564637
1703564638
1703564639
从中我们可以发现，这个对冲区间不是以BSM delta为中心的，而是以根据修正后的波动率σm计算出的BSM delta为中心的：
1703564640
1703564641
1703564642
1703564643
1703564644
H1是与gamma相关的项，与其在WW模型里面的作用类似。HN模型的精确数值解告诉我们，即使对于深度虚值期权而言（这时gamma可视为0），对冲区间的宽度也不会变为0。该特点并没有被WW模型捕捉到。这意味着我们还要另外引入一个H0项。Zakamouline设定了一个公式形式，然后通过数值分析的方法拟合得到了参数。最终结果如下：
1703564645
1703564646
1703564647
1703564648
1703564649
1703564650