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·当交易成本降低的时候,对冲区间的宽度也会减小。事实上,当成本变为0时,对冲区间就变成了BSM的delta线。
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·当风险厌恶系数上升时,对冲区间的宽度会减小,这和完整的HN理论的结论一致。
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·这个策略可以简化为一个分析式,从而可以在Excel中实施。
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·这个方法也可以用于处理其他不同形式的交易成本。特别是它能够处理交易成本与交易股票数量成比例的情况,而不是像式(6-10)那样交易成本与交易股票价值成比例的情况。交易单成本(ticket charges)和经纪费用就是这样的例子。对于买卖价差(最主要的成本)是不是也应该用这种方式来建模也有争议。我们在本章稍后部分会讨论这一点。这个模型甚至还可以适用于一些不怎么合理的情况,比如成本为固定成本。有时候交易成本很高,以至于和交易量的大小都无关了,这时的成本就是固定成本。它可能会对散户造成影响,但对于一个半职业的交易员来说就没有什么关系了。
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遗憾的是,Whalley和Wilmott(WW)方法也有一些不足之处:
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·与完整的HN方法不同的是:gamma多头和gamma空头所对应的对冲区间的不对称现象消失了。渐近解的大小只和gamma绝对大小有关,而与gamma头寸方向无关。
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·对冲区间是以BSM的delta为中心的。完整的HN解决方法的另一个重要特性也消失了。
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在实际应用的过程中会遇到一个问题,如果交易员看到合约标的的价格开始波动或者震荡,通常他并不能确切地知道应该调整对冲模型的买卖价差还是波动率。对交易员来说,这两者的效果是一样的,即它们都使得对冲变得更加困难了,但是由此所产生的影响对这些模型(HN和WW)来说大为不同。对平值期权而言,增加波动率水平会降低gamma,从而使得对冲区间变窄,但是增加买卖价差(比例交易成本)会使得对冲区间变宽。我们应该如何处理在实际中面临的这一重要问题呢?这里面的差异其实是因为模型考虑了风险厌恶系数后才引起的。波动率是一个能够交易的量,它同时具有风险和收益两方面的特性。当波动率变高了,模型就告诉我们要规避最差的情况,需要更频繁地进行对冲。但买卖价差是一个纯成本项,没有收益的特性在里面。所以一旦买卖价差变大,模型就告诉我们要减少对冲次数,以降低反复交易的成本[1]。交易员需要意识到这些情况,并思考市场的变化到底属于哪一方面。波动率和交易成本是完全不同的(即使在完美的无摩擦市场中也存在着波动率),但第一眼看上去时,往往很难将它们区分开。
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虽然在许多市场上并不是那么可行,但如果要从统计上分别估计交易成本和波动率,那还是可行的。通过记录成交价格与之前交易价格的区别,我们可以估计出交易成本。这完全是个微观结构问题(对微观结构的理解因交易员而异。Fidelity基金对交易成本的理解会与NYMEX市场上原油期货做市商的理解完全不同)。波动率可以选择在一段有大量成交量的时间区间上进行。交易员应当选择与其交易数量相当的成交记录进行计算。
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类似于BSM模型,这些对冲模式不应该被认为是能够反映真实环境的。它们只是提供了一个一致并且系统地处理真实环境的框架。上面所提到的在实际应用中遇到的问题只是更加明确了这一事实。
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[1] 参见Johnny 对此的有用解释,www.nuclearphynance.com。
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波动率交易:期权量化交易员指南(原书第2版) Zakamouline的双渐近解
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两个相对简单的交易成本模型分别是由Leland和Whalley及Wilm-oott提出的。它们都可以被视为Hodges和Neuberger模型的特例:Leland阐述了当处于风险中性状态时,如何在有交易成本的情况下复制一个期权。Whalley和Wilmott考虑了风险厌恶的情况,但是认为交易成本比较小。
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这些模型使用起来均较为简单,而且相对于那些非系统的对冲方法有了大幅提高,但是它们忽略了一些完整HN模型中很有价值的因素。更为关键的是,一些较为严谨的数值仿真结果表明,这些近似方法与完整方法相比,性能上会差很多。换句话说,在一个既定的交易成本水平上,使用WW模型对冲的投资组合会比使用HN模型对冲的组合面临更多的波动(这其实不能算作批评的意见。很明显,近似的模型效果不会有完整模型那么好)。
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Zakamouline(2006a,2006b和2006c)研究了基于效用的对冲策略的特性(尤其是上面列出的几个要点),并提出了一个对冲策略公式,它能够保持HN模型最重要的特性。这项研究也曾经由Risher(2004)独立地提出过。这个对冲区间具有以下形式:
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从中我们可以发现,这个对冲区间不是以BSM delta为中心的,而是以根据修正后的波动率σm计算出的BSM delta为中心的:
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H1是与gamma相关的项,与其在WW模型里面的作用类似。HN模型的精确数值解告诉我们,即使对于深度虚值期权而言(这时gamma可视为0),对冲区间的宽度也不会变为0。该特点并没有被WW模型捕捉到。这意味着我们还要另外引入一个H0项。Zakamouline设定了一个公式形式,然后通过数值分析的方法拟合得到了参数。最终结果如下:
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