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图6-6和图6-7列出了使用这个结论得到的对冲区间的例子。例中使用的也是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
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图6-6 由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权多头对冲区间与BSM delta的函数关系
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图6-7 由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权空头对冲区间与BSM delta的函数关系
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如图6-6和图6-7所示，比起WW的方法，Zakamouline的方法更接近HN模型的结果。尤其是非交易区间中间的那部分与BSM没有重叠，这正是由于使用了修正过的对冲波动率。
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在比较这些不同的对冲策略前，我们首先需要一些通用的评价基准。这些策略不尽相同。有些是基于时间增量的，有些则是基于价格变动的。比如，以固定时间区间进行平衡调整的策略为例。首先我们选择一个时间间隔；然后进行模拟，并且计算该策略的风险和收益；接下来我们改变这个时间间隔，并重复之前的步骤；最终我们会得到这个策略的一个有效前沿。这能够帮助我们在给定的风险水平下，找到最优的策略（以收益的形式来衡量优劣）。一方面，我们选择复制误差，也即所有交易成本影响的总和，来作为衡量收益的指标；另一方面，我们选择使用复制误差的方差来衡量风险项。也就是说，我们使用了常用的均值–方差框架来评估风险，当然其他风险指标也是可行的（在第9章中将可以找到有关这些指标优缺点的讨论）。
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Zakamouline（2005，2006b）和Martellini and Priaulet（2002）对不同的策略进行了模拟仿真。Zakamouline对一年期的看涨期权的空头头寸的对冲策略进行了仿真。对冲的时间间隔从1.25个交易日到50个交易日不等。其他模型选择参数所得到的仿真结果都要在均值–方差框架下进行。（这类似于交易员是如何使用模型的。他在校验新的对冲模型时说道：“目前我的对冲策略使我只承担X份的风险。如果我通过新的对冲模型让我承担同样份额的风险，那么我将能节省多少钱呢？”）
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数值模拟的结果表明，Zakamouline的近似方法显著优于其他方法。也就是说，对于给定的风险水平而言，这个策略实施起来的成本最小。在理想的情况下，我们当然希望一个策略可以在各种风险水平上都能显著优于其他策略，但事实并非如此。不同策略之间相对性能的优劣还取决于风险厌恶水平和交易成本的大小。
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选择对冲策略时，另一个需要考虑的问题是：并不是所有策略在实施的时候都同样简单。Hodges-Neuberger模型是一个极端情况：它虽然是最优策略，但是却无法用于实际。Zakamouline模型比Wilmott-Whalley方法的近似程度更高，但是它同样也更难应用到实际中去，因为一些交易软件不能简单地促进其有效实施（具体说来，不是所有的系统都能计算delta随波动率的变化量）。
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另一个难点在于，期权头寸的gamma往往会随着合约标的价格的变化而改变方向。例如，考虑一个蝶式期权多头头寸，它由1份在值程度为90%的看涨期权多头和2份100%看涨期权空头以及1份110%看涨期权空头构成。它的盈亏情况如图6-8所示。
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图6-8 蝶式期权的损益与期权在值程度的函数关系
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假设我们成功地以零成本的价格买入这个头寸。此时我们处于一个很完美的状态，因为只可能盈利而不会亏损——只要我们不进行连续对冲。当合约标的的价格在90%～110%波动时，我们会一直处于gamma空头的状态。而如果我们此时选择对冲累积的delta，就相当于在高点买入股票然后在低点将其卖出，反而会很快亏钱。这个例子告诉我们两个重要的事实：首先，动态对冲策略需要考虑整个组合的gamma状态；其次，如果我们能以便宜的价格使用其他期权来进行静态对冲，那么这将比使用合约标的进行动态对冲的效果要好得多。
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还有一点要在这里提一下。正如本书中一直强调的，明确交易的具体目的很关键。具体来说就是，对冲的目的是什么？简单地说，是为了消除在合约标的市场上的价格方向敞口，或者说是为了移除我们不想承担的风险敞口，同时保留那些愿意承担的风险敞口。如果我们是期权做市商，那我们的利润就来自买卖价差。为了尽可能多地获取利润，我们应该尽量通过购买其他期权（如果能同时获取这部分的买卖价差就更好了）来对冲波动率敞口。这个问题在Baird（1992）和Taleb（1997）的研究中，作为实际问题讨论过。Carr等人（1998）以及Hua和Wilmott（1999）以更正式的形式也进行了研究。然而，如果我们明确地想要持有已实现波动率与隐含波动率的价差头寸，那上面的方法就行不通了。动态对冲虽然会残留下许多风险，但有时候，这些风险正是我们愿意承担的。
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动态对冲过程中所产生的问题不能一味地通过教条的方法来解决。我们需要理解风险，然后降低其中一部分风险，同时承担另一部分。一些解决对冲过程中所出现问题的基本方法可以归结如下：
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·如果你在做空平值期权，那么购买一些深度实值和深度虚值的期权。这样做可以预防波动率赌注头寸由于价格跳跃影响而可能遭受的巨大损失（相应地，如果你拥有期权多头，那么可以增加一些价格跳跃的敞口）。
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·尽量在不同的产品上分散价格跳跃风险。
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·让每个头寸的损失都有限。
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·不要以过去发生的最糟糕的事情来估计将来可能发生的最差情况。如果你在卖出波动率，那么你收到的权利金中的一部分正是用来涵盖以前从未发生过的事件的。
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