1703564632
这些模型使用起来均较为简单，而且相对于那些非系统的对冲方法有了大幅提高，但是它们忽略了一些完整HN模型中很有价值的因素。更为关键的是，一些较为严谨的数值仿真结果表明，这些近似方法与完整方法相比，性能上会差很多。换句话说，在一个既定的交易成本水平上，使用WW模型对冲的投资组合会比使用HN模型对冲的组合面临更多的波动（这其实不能算作批评的意见。很明显，近似的模型效果不会有完整模型那么好）。
1703564633
1703564634
Zakamouline（2006a，2006b和2006c）研究了基于效用的对冲策略的特性（尤其是上面列出的几个要点），并提出了一个对冲策略公式，它能够保持HN模型最重要的特性。这项研究也曾经由Risher（2004）独立地提出过。这个对冲区间具有以下形式：
1703564635
1703564636
1703564637
1703564638
1703564639
从中我们可以发现，这个对冲区间不是以BSM delta为中心的，而是以根据修正后的波动率σm计算出的BSM delta为中心的：
1703564640
1703564641
1703564642
1703564643
1703564644
H1是与gamma相关的项，与其在WW模型里面的作用类似。HN模型的精确数值解告诉我们，即使对于深度虚值期权而言（这时gamma可视为0），对冲区间的宽度也不会变为0。该特点并没有被WW模型捕捉到。这意味着我们还要另外引入一个H0项。Zakamouline设定了一个公式形式，然后通过数值分析的方法拟合得到了参数。最终结果如下：
1703564645
1703564646
1703564647
1703564648
1703564649
1703564650
1703564651
1703564652
1703564653
1703564654
1703564655
图6-6和图6-7列出了使用这个结论得到的对冲区间的例子。例中使用的也是波动率为0.3的一年期期权，交易成本为2%，利率和持仓成本为0，风险厌恶系数为1。
1703564656
1703564657
1703564658
1703564659
1703564660
图6-6 由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权多头对冲区间与BSM delta的函数关系
1703564661
1703564662
1703564663
1703564664
1703564665
图6-7 由Zakamouline的渐近方法得到的看涨期权空头对冲区间与BSM delta的函数关系
1703564666
1703564667
如图6-6和图6-7所示，比起WW的方法，Zakamouline的方法更接近HN模型的结果。尤其是非交易区间中间的那部分与BSM没有重叠，这正是由于使用了修正过的对冲波动率。
1703564668
1703564669
在比较这些不同的对冲策略前，我们首先需要一些通用的评价基准。这些策略不尽相同。有些是基于时间增量的，有些则是基于价格变动的。比如，以固定时间区间进行平衡调整的策略为例。首先我们选择一个时间间隔；然后进行模拟，并且计算该策略的风险和收益；接下来我们改变这个时间间隔，并重复之前的步骤；最终我们会得到这个策略的一个有效前沿。这能够帮助我们在给定的风险水平下，找到最优的策略（以收益的形式来衡量优劣）。一方面，我们选择复制误差，也即所有交易成本影响的总和，来作为衡量收益的指标；另一方面，我们选择使用复制误差的方差来衡量风险项。也就是说，我们使用了常用的均值–方差框架来评估风险，当然其他风险指标也是可行的（在第9章中将可以找到有关这些指标优缺点的讨论）。
1703564670
1703564671
Zakamouline（2005，2006b）和Martellini and Priaulet（2002）对不同的策略进行了模拟仿真。Zakamouline对一年期的看涨期权的空头头寸的对冲策略进行了仿真。对冲的时间间隔从1.25个交易日到50个交易日不等。其他模型选择参数所得到的仿真结果都要在均值–方差框架下进行。（这类似于交易员是如何使用模型的。他在校验新的对冲模型时说道：“目前我的对冲策略使我只承担X份的风险。如果我通过新的对冲模型让我承担同样份额的风险，那么我将能节省多少钱呢？”）
1703564672
1703564673
数值模拟的结果表明，Zakamouline的近似方法显著优于其他方法。也就是说，对于给定的风险水平而言，这个策略实施起来的成本最小。在理想的情况下，我们当然希望一个策略可以在各种风险水平上都能显著优于其他策略，但事实并非如此。不同策略之间相对性能的优劣还取决于风险厌恶水平和交易成本的大小。
1703564674
1703564675
选择对冲策略时，另一个需要考虑的问题是：并不是所有策略在实施的时候都同样简单。Hodges-Neuberger模型是一个极端情况：它虽然是最优策略，但是却无法用于实际。Zakamouline模型比Wilmott-Whalley方法的近似程度更高，但是它同样也更难应用到实际中去，因为一些交易软件不能简单地促进其有效实施（具体说来，不是所有的系统都能计算delta随波动率的变化量）。
1703564676
1703564677
另一个难点在于，期权头寸的gamma往往会随着合约标的价格的变化而改变方向。例如，考虑一个蝶式期权多头头寸，它由1份在值程度为90%的看涨期权多头和2份100%看涨期权空头以及1份110%看涨期权空头构成。它的盈亏情况如图6-8所示。
1703564678
1703564679
1703564680
1703564681