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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562380]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 离散对冲和路径依赖
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假设我们购买了总vega为$1000的一年期看涨期权，购买时的隐含波动率为30%，而在期权到期时，存续期内的已实现波动率正好也为30%。我们在每天收盘时对冲掉delta。在整个过程中，其中10个交易日的损益（P/L）数值如下：
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这一组数据的平均损益为亏损$10.2。这个结果离期望损益0很接近，但是这些数值之间有较大的离差。毫无疑问，可能会出现这样的情形：某个交易员正在为自己$1741的损失向上司辩护，而另一个交易员却在捏造一个故事来解释为什么他今天赚了$1984。这里面到底发生了什么？真实损益结果的分布到底应该是什么样的？BSM公式的核心观点是可以通过交易合约标的来复制期权。图7-1展示了我们复制这个期权的100次模拟结果。由于我们持有的是看涨期权多头，所以复制的结果看上去是一个看涨期权空头。
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图7-1 一年期期权对冲策略的100次模拟结果
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图7-1中的结果看上去和我们预想的差不多。复制期权的损益图形和行权价为100的看涨期权空头的图形看上去很相似，初始价值正好对应于$1000的vega，但是这个复制并不算完美。它与期权的真实价值之间还是有着显著离差的，而且离差的程度取决于最终的合约标的价格。当资产在行权价附近到期时，离差最大。
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首先需要注意，在这个例子中，我们并没有进行连续对冲。离散对冲策略使得我们的无方向（nondirectional）策略具有路径依赖的特性（美式期权的弱路径依赖是与欧式期权对应而言的，所以这种路径依赖与美式期权的弱路径依赖特性无关）。两个有着相同波动率的路径可能会产生不同的损益。设想一种极端情况：所有合约标的的波动都只是由一次价格跳跃产生的。在第一条路径中，这个跳跃发生在第一天，如图7-2所示。在第二条路径中，跳跃刚好发生在期权到期之前（见图7-3）。
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图7-2 路径1：跳跃发生在第一天
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图7-3 路径2：跳跃发生在到期前
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在每个例子中，头寸的总损益均为看涨期权的损益减去对冲头寸的价值变化。即
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但在这个特殊的例子中，我们只须在跳跃发生之前及时对delta进行评估，就可以计算出两条路径损益的差别。如果持有的是平值看涨期权，那么有以下结果：
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情形1：Δ>0.5
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情形2：Δ=0.5
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因此在这两种情况下的损益差为：
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所以在做空这个看涨期权时，第一种情况会更有利一些，因为在对冲头寸上我们持有了更多的股票。虽然这只是个比较极端的例子，但是其基本原理还是成立的。股价变动的时间点会严重影响到期权的利润。
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现在让我们在更加切合实际的价格路径下，仔细研究这一效应的大小和性质。我们以一个初始价格为$100的股票为例，假设利率、股息率以及价格漂移项均为0。同样我们购买总的vega为$1000的一年期看涨期权，隐含波动率为30%。我们模拟了100条路径，它们在期权期限内的已实现波动率正好也为30%。我们使用几何布朗运动（GBM）来描述价格路径，因此可以得到价格路径的表达式如下：
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